郑金

摘 要：推导了物体在凹面轨道上缓慢运动时克服摩擦力做功的公式；探讨了有关物体沿凹面轨道运动问题的错题及错解；探究了几道典型题及高考题的解法。

关键词：凹面轨道；摩擦力；做功；向心力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）2-0046-3

对于物体沿竖直平面内的圆弧轨道运动，由于物体跟轨道接触面的弹力与向心力有关，而向心力的大小与速率有关，因此受到接触面的摩擦力大小与物体的运动速率有关。在圆弧上不同位置的摩擦力大小不同，在不同过程经过同一位置的摩擦力大小也不同。

1 克服凹面摩擦力所做的功

如图1所示，斜面长为l，倾角为θ。一个质量为m的物体沿斜面由顶端向下滑动，动摩擦因数为μ。则物体克服摩擦力所做的功为Wf=μmglcosθ=μGx。

可见，当物体只受重力、弹力和摩擦力作用沿斜面运动时，克服摩擦力所做的功等于动摩擦因数、重力的大小和水平位移的大小三者的乘积。

如图2所示，假设物体沿圆弧轨道AB缓慢下滑一小段圆弧Δs，可视为斜面。则到达C点时受到的摩擦力为f=μmgcosθ，克服摩擦力做的功为ΔWf=μmgcosθ·Δs。由于Δs·cosθ表示物体在水平方向的位移Δx，因此ΔWf=μmg·Δx。由微元累加法可知，在沿圆弧路径运动的过程中，物体在水平方向的位移为x=R。所以，物体在缓慢下滑过程中克服摩擦力所做的功为Wf=μmgR。

一般来说，若物体沿斜面运动或沿凹面缓慢运动，克服摩擦力所做的功等效于物体沿轨道的水平投影面运动时克服其摩擦力所做的功，即Wf=μGx。

如果物体在凹面上运动的速度较大，则摩擦力大小与速度有关。……