关于Hermite矩阵Schur补的迹的几个不等式

引文格式： 解运运,段复建.关于Hermite矩阵Schur补的迹的几个不等式[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(1):79-82.

解运运，段复建

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

摘要：利用Schur补的理论知识和Hermite矩阵的迹的不等式，研究了Hermite矩阵Schur补的迹的不等式的遗传性质，得到了Hermite矩阵Schur补的迹的Minkowski不等式、Holder不等式以及其他形式的不等式，并给出了理论证明，为处理大规模的矩阵计算提供了理论支撑。

关键词：Schur补；Hermite矩阵；矩阵的迹

Schur补的概念[1]的提出大大地推动了数学领域的发展，大量工程问题可以归结为大规模的矩阵计算问题，而矩阵的Schur补是处理大规模矩阵计算的有效工具，在数值计算、矩阵理论、线性方程组求解、控制理论、统计分析等领域中有着重要的应用[2-7]。由于Hermite矩阵是一类特殊矩阵，它的迹作为矩阵的一个重要的数字特征也受到广泛的关注，文献[8-9]介绍了(半)正定Hermite矩阵的迹的几类不等式，但对于Hermite矩阵Schur补的迹的遗传性质的研究较少。为此，研究不同条件下Hermite矩阵Schur补的迹，得到了Hermite矩阵Schur补的迹的Minkowski不等式、Holder不等式等其他形式的不等式，并给出了理论证明，为求解大型Hermite矩阵计算提供了理论依据。

1基础知识

M/B=C-DB-1A；

M/C=B-AC-1D；

M/D=A-BD-1C。

定义2设A∈Cn×n，若AH=A，则称A为Hermite矩阵，记为H(n)。

引理1[8]设A、B分别为n×m和m×n矩阵，则tr(AB)=tr(BA)。

当B=μA，μ>0时等号成立。

当B=μA，μ>0时等号成立。

2主要结论及其证明

证明由题意知

根据Schur补的定义得

M/A=D-BHA-1B=D+BHB，

当且仅当D=μBHB，μ>0时等号成立。

证明由Schur补的定义得

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)，

由引理1和矩阵的迹的线性性质可知，

证明由Schur补的定义得：

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)。

由BHA-1∈Cm×n、B∈Cn×m、引理1和矩阵的迹的线性性质可知，