广义ZK-MEW方程的行波解分支

引文格式： 肖军均，冯大河，孟霞.广义ZK-MEW方程的行波解分支[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(1):66-70.

肖军均，冯大河，孟霞

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

摘要：为研究广义ZK-MEW方程的动力学行为及有界行波解，运用动力系统分支理论，得到了该方程在给定参数条件下的相图分支及光滑孤立波解、周期波解的解析表达式，并给出了这些解的数值模拟。

关键词：广义ZK-MEW方程；动力系统分支理论；光滑孤立波解；周期波解

基于ZK(Zakharov-Kuznetsov)方程[1]

和MEW(modified equal-width)方程[2]

文献[3-5]研究了广义ZK-MEW(Zakharov-Kuznetsov modified equal-width)方程：

(1)

其中：n∈Ν*，a、b、c为非零实常数。通过利用拟设孤立波方法研究方程(1)，Biswas[3-4]获得了一些1-孤立子解、拓扑及非拓扑孤立波解。Pandir[5]运用扩展的实验方程法，得到了方程(1)的孤立波解、有理和椭圆函数可积解。对方程(1)的动力学行为至今尚未研究，为此，利用动力系统分支理论[6-7]分析该方程的动力学行为并给出更丰富的精确行波解。

对方程(1)作行波变换：

可得常微分方程：

(2)

其中φ′=dφ/dξ。将方程(2)关于ξ积分一次，并且取积分常数为0，有

(3)

令φ′=y，可知方程(3)等价于如下Hamilton系统：

(4)

其中：A=-a/(bl+ck2)≠0；B=l/(bl+ck2)。显然，系统(4)具有如下首次积分：

(5)

1系统(4)的相图分支

设f(φ)=Aφn-Bφ，则有以下情况存在：

1)当n=1时，f(φ)仅有1个零点φ0=0，即系统(4)仅有1个平衡点O(0,0)。由于该情况比较简单，仅考虑以下2种情况。

2)当n=2m，m∈N*时，f(φ)有2个零点：φ0=0，φ1=(A-1B)(n-1)-1，即系统(4)在φ轴上有2个平衡点：O(0,0)，P1(φ1,0)。

3)当n=2m+1时，f(φ)有3个零点：φ0=0，φ1=(A-1B)(n-1)-1，φ2=-φ1，即系统(4)在φ轴上有3个平衡点：O(0,0)，P1(φ1,0)，P2(φ2,0)。

令hi=H(φi,0),i=0,1,2，则

若Pe(φe,ye)为系统(4)的平衡点，则对应系统(4)的Jacobi矩阵为：

故有

由动力系统知识可知，若J(φe,ye)<0，则平衡点Pe为鞍点；若J(φe,ye)>0，则平衡点Pe为中心点；若J(φe,ye)=0，且Pe的庞加莱指数为0，则平衡点Pe为尖点。……