胡祝齐

（江西师大附中）

熟练的解题方法 陌生的方法原理
——从北美数学教学再看数轴标根法原理

胡祝齐

（江西师大附中）

高次不等式是高中数学中经常遇到的重要不等式。在国内中学里，教师主要介绍了一种简单的方法——数轴标根法。这种方法简单且实用。笔者现在中美实验班教微积分预备，涉及多项式函数的教学和图形计算器的使用。笔者将从多项式函数的角度来重新阐释数轴标根法，将原理剖析清楚。

一、方法回顾

对高次多项式不等式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an＞0。

第一步，先将x最高次项系数化为正数，再通过因式分解将其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘积，相同的一次因式写成幂指数的因式。

第二步，将其对应方程的根在数轴上标出来。

第三步，从右向左从上到下依次穿线，穿线时，遇到奇重根时，在其对应的根处穿过，遇到偶重根时，在其对应的根处，不穿过。

第四步，线在x轴上方部分对应函数在这些区间值为正数，故是大于零不等式对应的解，线下部分同理，从而找出原不等式的解集。

二、逐步释疑

1.为何先将最高次项化为正数？一定要从右向左从上到下依次穿线吗？

答：这两个问题实际上是有内在联系的。我们以y=x4-3x3-2x+ 1为例。当x→∞时，函数值应该趋近于正无穷。从函数图像的角度，应该是越来越向上的。所以当我们从右边向左边穿时，应该从上到下穿。

反之，例如y=-3x3-2x+3，当x→∞时，函数值趋向于负无穷。从函数图像的角度，图像走势是向下走的。所以当我们从右向左边穿时，应该从下到上穿。

在国内教学中，教师为了方便识记，将两种情况合成一种，方便记忆。

2.穿线时，为什么奇穿偶折？

答：我们可以用幂函数来看这个问题。我们知道幂函数是奇次时，函数穿过原点；当幂函数是偶数时，函数关于y轴对称。对于任意一个高次函数，例如y=（x-3）（x+2）2（x-4）在x=-2这个点附近，我们取这个点附近很小的一个邻域，在这个范围内，函数可以近似看成y=（x+2）2，此时函数是关于x=-2对称，且不会穿过坐标轴，所以偶次折回来。同理，奇次也可得到相应的结论。

3.为什么线在x轴上方部分对应不等式在这些区间值为正数？

答：数轴标根法的线，实际上是多项式函数的一种简单的图像，这根线仅表达出了高次不等式对应的多项式函数的零点和在零点附近的取值情况，忽略了函数的极大值、极小值等其他性质。根据函数图像，在x轴上方部分即为函数值大于零的相应图像。

综上所述，从多项式函数的角度阐释数轴标根法，更加清晰易懂。这样我们不仅教授学生方法与口诀，更告诉了方法背后的原理，从而将陌生的原理变为熟悉的原理。即使学生忘记了数轴标根法的步骤，他们也能从多项式函数很快推倒出来。

·编辑 孙玲娟