张蓬霞,王浩飞

（长治学院数学系,山西长治046011）

一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型的稳定性分析

张蓬霞,王浩飞

（长治学院数学系,山西长治046011）

文章分析了一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型.通过对其特征方程的分析,运用Hurwitz判定定理,探讨了模型的非负平衡点的局部稳定性；利用构造函数法,结合La－Salle不变集原理,讨论了模型的非负平衡点的全局稳定性,得到了捕食者和食饵种群可持续生存的条件.

阶段结构；捕食模型；环境承载力；特征方程

本文研究了一类具有Holling－Ⅱ型功能反应函数和环境承载力且捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型：

其中,K表示环境对食饵的最大承载力,k表示捕食者的消化率为Holling－Ⅱ型功能反应函数,为简单起见,不妨只对食饵考虑环境承载力.x1（t）和x2（t）分别表示幼年食饵和成年食饵在t时刻的密度函数；y1（t）和y2（t）分别表示幼年捕食者和成年捕食者在t时刻的密度函数.

本文假设d4（r2＋d3）＞βr2

1 边界平衡点的稳定性

1.1 平衡点E0（0,0,0,0）

1.1.1 平衡点E0（0,0,0,0）的局部稳定性

系统（1）在平衡点E0（0,0,0,0）的线性化系统的雅可比矩阵为

故特征方程为

注意到d4（r2＋d3）＞βr2,当rr1＜d2（r1＋d1）时,方程（2）的根均是负数,由Hurwitz判定定理［1］可知E0（0,0,0,0）是局部渐进稳定的；当rr1＞d2（r1＋d1）时,方程（2）至少存在一个正根,由Hurwitz判定定理可知E0（0,0,0,0）是不稳定的.

1.1.2 平衡点E0（0,0,0,0）的全局稳定性

定理1.1 如果rr1＜d2（r1＋d1）,则平衡点E0（0,0,0,0）具有全局渐进稳定性.

证明：设模型（1）的任何一个正解为（x1（t）,x2（t）,y1（t）,y2（t））,下面构造函数如下：

沿着模型（1）的解计算V1（t）的导数,得

因为rr1＜d2（r1＋d1）,所以.V1（t）≤0.如果（x1（t）,x2（t）,y1（t）,y2（t））中有一个不为0,不妨设y2（t）≠0,其……