王 璐

(昆明理工大学 理学院，云南 昆明 650500)

基于四阶微分全变差的图像去噪模型

王 璐

(昆明理工大学 理学院，云南 昆明 650500)

针对现有全变差(TV)方法效果不太理想，在去除噪声的时候不能较好地保护图像的边缘信息，而且恢复图像易出现“阶梯效应”和“块效应”的问题，文中提出了一种基于四阶微分全变差的图像去噪模型。首先论述了传统全变差模型去噪方法及其高阶微分方程去噪方法各自的优缺点；然后将带有边缘指标的全变差模型与四阶微分理论相结合，得到了一个新的带有边缘指标的自适应全变差去噪模型，并引入差分方程去定义模型中的变量。实验结果表明，该模型能较好地抑制噪声、保留边缘特征和衰减图像的“阶梯效应”，并能较好地避免图像的“块效应”。

图像去噪；全变差；四阶微分；边缘保真；块状效应

0 引 言

在各类图像系统中，由于图像的传送和转换，如成像、复制、扫描、传输、显示等，总要造成图像的降质，最典型的表现为图像失真，有噪声等。去噪成为图像复原的经典话题，然而在去噪的过程中不可避免地会导致图像边缘的模糊，而图像的重要信息往往存在于高频(边缘,细节)区，传统的滤波去噪很难有效地处理这类问题。

因此，寻找既能有效去除噪声又能保持图像边缘特征的方法成为研究的重点[1]。

1 总变分模型

针对噪声图像，u0表示退化图像，u表示原图像，假定退化模型为：

u0=Ru+n

(1)

其中：u0表示退化图像；u表示原图像；n表示一个10倍的随机干扰信号的加性噪声；R表示确定性退化的线性算子，通常是卷积算子，这里R=I。

该去噪问题是一个典型的病态问题。数学上解决病态问题的一个常用方法是正则化方法，即加入一个正则项，使其呈良态。

1992年，Rudin等[2]从图像复原的角度出发，对模型提出了基于能量极小化和变分(TotalVariation，TV)法的偏微分方程算法。该算法运用偏微分方程的各向异性扩散方程对图像进行去噪。与传统滤波去噪不同，各向异性扩散方程的优点[3]在于它的各向异性，即在不同的方向和区域，对于图像的平滑程度也不同，它与图像的局部结构有关。在灰度变化较大的区域或方向上，扩散作用较小；在灰度变化较小或孤立噪声区域，采用较强的平滑处理，以达到抑制噪声的目的。所以，各向异性扩散方法在图像边缘检测、抑噪与边缘保留、分割等方面都得到了广泛应用。

然而，传统的TV模型有三大缺点：计算的复杂度高、边缘信息的不稳定性和恢复图像出现的“阶梯效应”。为了能够更好地保留边缘信息，Gilboa等在2003年提出了一种新的模型。该模型在传统TV模型的基础上，把传统正则参数变形为自适应的正则参数，使得保真项随着像素值的变化而发生相应的变化[4]。为了降低恢复图像的“阶梯效应”，Blomgren等提出了一种在远离边缘的区域可使ROF模型更凸的模型，即给梯度正则项添加了和梯度大小有关的指数项，使得模型在恢复图像的过程中满足图像的线性[5]。自适应正则项和保真项的提出为图像去噪又开辟了一条新的途径，在模型[6]中同时包含了自适应的正则项和保真项：

EATV=∫Ω(|

其中，p(D):R+→[1,2]，λ(D)∈[0,k]。

在边缘区，正则项近似于TV范数用来保护边缘区；在平滑区，正则项近似于L2范数，保真项的权重较小，有利于图像去噪。

为了衰减“阶梯效应”，提高边缘的稳定性，一些文献中用高阶差分算子代替TV范数。与一阶梯度正则项不同，高阶微分能恢复图像中潜在的分段常量区域，有效地恢复图像的平滑性并有效降低图像的“阶梯效应”[7-14]。在这种情况下，提出了合并二阶差分和TV范数作为正则项模型[7,10-11]：

E=∫Ω(|Δf(x)|+λ(u-u0)2)dxdy

(3)

其中，Δf(x)=fxx+fyy，分别为f对x的二阶导数和对y的二阶导数。

也可以直接使用二阶正则项构造图像去噪模型[9,13]。然而，利用二阶导数对图像去噪后，图像会出现“块效应”，如果图像强度函数是二维时，图像的各向异性扩散是导致恢复图像出现“块效应”的重要因素[12]。这样，在视觉上，恢复图像就会呈现不好的效果。另外，计算机识别图像时，很有可能在视觉上出现系统性的错误，实际上是原始图像中平滑区不同块的分界，而被误认为是图像的边缘区。这样对于这些分段平面图像噪声的移除和边缘的保护仍有缺陷。然而四阶差分项在避免图像“块状效应”的同时也能够很好地实现噪声消除和边缘保护。

综上所述，对于图像去噪，这些高阶正则项模型在去噪的过程中，在保护边缘和降低图像的“阶梯效应”方面优于单纯的TV正则项模型。

文中模型利用高阶微分对于图像去噪的优势，采用四阶微分方程做正则项来对图像进行去噪，并在模型中引入自适应的正则项和保真项。数值实验表明，该模型在移除噪声和保护边缘的同时，能有效地避免图像的块状效应，衰减恢复图像出现的“阶梯效应”。

2 高阶全变差去噪模型

全变差模型为：

E(u)=∬Ωf(|pu|)dxdy

(4)

则全变差模型可写为：

(5)

其Euler方程为：

式(5)化为梯度稳定形式即为：

在计算过程中，当t达到一定的值时，恢复图像在去除噪声和边缘的保护上达到一个最优值。

3 改进的四阶去噪模型

3.1 边缘指标

边缘指标是根据梯度模的大小来区分边缘区域和平滑区域的，它的缺点是不能考虑到图像中不连续的情况，因而不能很好地对边缘区进行恢复。而与一阶导数相比，二阶导数不仅可以考虑不连续情况，而且对边缘信息更敏感，所以使用二阶导数可有效地区分出图像的边缘区域和平滑区域。下面引入一个体现边缘指标的参数，即差分曲率的定义：

D=||uηη|-|uξξ||

因为边缘区域梯度模值大，而平滑区域梯度模值小，所以上式通过二阶导数之间的关系，对边缘指标进行分析(见表1)：

表1 差分曲率特征分析

这样就可以有效地区分图像的边缘区域、平坦区域和噪声区域，从而更好地达到保护边缘的目的。

3.2 四阶全变差去噪模型及其模型求解

利用差分曲率对图像去噪的优势，定义两个自适应参数：

则含有自适应差分曲率的模型为：

(6)

则模型(6)对应的Euler方程为：

(7)

在对Euler方程求解时，可把方程转化为偏微分稳定形式进行求解，方程(7)的稳定形式为:

(8)

其中，h表示差分方程的步长。

边界条件为：

4 数值实验

文中仿真平台软件环境为Matlab7.14；硬件环境为英特尔i3-2350M@2.30GHz，内存2GB。

为验证去噪模型及其算法的有效性，将文中方法与ROF去噪法、一阶自适应TV(ATV1)去噪法、二阶自适应TV(ATV2)去噪法进行比较。以峰值性噪比和结构相似度作为衡量指标。选取Lena图像和Flower图像，噪声类型为加性10倍的随机干扰噪声。

文中模型参数为：k=2，迭代步长Δt=1×0.02，迭代次数n=50，图像迭代的精度tol=10-4。

图1和图2分别是Lena图像和Flower图像的去噪结果；表2和表3为算法对比结果。

图1 Lena图像的4种去噪结果

表2 算法比较结果(Lena图像)

图2 Flower图像的4种去噪结果

算法PSNRSSIM噪声图17.72550.3387TV21.94170.5518ATV123.16270.7318ATV223.21160.7338文中模型23.36000.7360

由恢复图像特征及其峰值信噪比、结构相似度可知，运用TV模型去噪时，图像的细节部分被破坏，而且恢复图像存在“阶梯效应”；运用线性ATV模型去噪时，图像边缘信息保护比较好，由于图像像素值存在分段常量，使得恢复图像仍存在“阶梯效应”和“块效应”；而运用文中模型不仅可以有效地去除噪声，保护图像边缘，更减弱了恢复图像非线性的结构模式，并避免了图像的“块效应”，证明该模型是有效的。

5 结束语

文中提出了一个四阶差分自适应正则序列去解决图像加噪声后的非线性问题，并结合边缘指标区分出了图像的平滑区、边缘区和噪声区。实验结果表明，与其他模型相比，此模型和算法在图像去噪过程中能获得更好的恢复结果。

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Image De-noising Model Based on Total Variation of Fourth-order Differential

WANG Lu

(Faculty of Science,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

The effect of the existing Total Variation (TV) method for image denoising is not ideal while removing noise,it is not well protection of the edge information of image and easy to appear the "staircase effect" and "blocky effect" when recovering the image.Aiming at this problem,a new method of image denoising based on TV of fourth-order differential is proposed in this paper.First,the advantages and disadvantages of the traditional image denoising methods of TV and higher order differential equations are discussed respectively.Then,combined the denoising model of TV with fourth-order differential theory,a new adaptive ATV model with the edge indicator is obtained,and a rational differential mask in eight directions is drawn.The experimental results show that this method can reduce the noise well,and preserve edge features better,and reduce the influence of the "staircase effect",avoiding the "blocky effect" of the image.

image denoising;total variation;fourth-order differential;edge fidelity；blocky effect

2015-06-20

2015-09-22

时间：2016-02-18

国家自然科学基金资助项目(11461037)；昆明理工大学人才基金(2008-72)；昆明理工大学研究生核心课程项目

王 璐(1990-)，女，硕士研究生，研究方向为数字图像处理。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160218.1638.088.html

TP391.41

A

1673-629X(2016)03-0085-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.03.020