☉湖北省监利县第一中学　瞿兆君

加强命题常用的四种途径

☉湖北省监利县第一中学瞿兆君

在解题困难的时刻，或在求解的过程中难以理出头绪时，我们总是想方设法将命题变形，加强命题的条件来寻求破解的蹊径.因为通过解决一个比原命题更强的命题，能使我们运用通法解题的思路变得畅通起来，从而较快地达到所要求解或求证的目标，尤其是对一些较为复杂的不等式的证明、极值的求解，采用加强命题处理，往往会给解题带来生机.

然而，如何对一数学命题进行加强？这是我们大家都很关心的问题.一般地，加强命题常用的手段有四种，即重要不等式、等比级数、构建引理、极端性原理等.

一、构建等比级数加强命题

在数列不等式的证明中，将有关“数”或“式”变为等比级数可获得创新性的解法.

例1设数列｛an｝满足条件：an+1=-nan+1，n=1，2，3，…，且a1≥3.

分析：对于（Ⅱ），因右边只有一个常数项，而左边是n项的和，与已知条件联系不太明显，故直接推证较难入手.当从两边的差异上进行思考时，易使我们产生加强命题的念头，即能否将“1

（Ⅰ）证明：对所有的n≥1有an≥n+2；

证明：（Ⅰ）用数学归纳法证：

当n=1时，由已知得，a1≥3=1+2，即a1≥1+2成立.

假设当n=k时，命题成立，即ak≥k+2，且有ak+1=a2kkak+1，

那么，当n=k+1时，有ak+1=ak（ak-k）+1≥ak（k+2-k）+ 1≥2（k+2）+1=2k+5≥k+3，

即当n=k+1时，命题亦成立.

综上知，对所有n≥1，命题成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an≥n+2，则an+1=a2n-nan+1≥（n+2）annan+1=2an+1.

由此可得an+1+1≥2（an+1）⇒≥2.

从而1+an≥2n+1，

二、构建引理加强命题

在条件难以辨析的情况下，尤其是在解题困难的时刻，注重构建引理加强命题，往往可独辟蹊径，促进解题的创造性思维.

例2已知函数f（x）=ln（1+ax）-ln2+x2-ax（a为常数，a＞0）.

（Ⅱ）由……