☉浙江省湖州市第五中学教育集团　计惠方

椭圆的共轭直径的1个性质的三点注记

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《数学通讯》2015年第10期下半月（教师）刊登了张留杰、周明芝两位老师通过对一道期末试题的研究，获得了椭圆共轭直径的一个性质，拜读两位老师的文章，深受启发.为了说明问题，特将作者研究的试题和两位老师的研究结果转述如下：

题目（2015年1月北京市东城区高三期末试题）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

文［1］作者根据直线l的斜率为恰好等于，定值5点P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线l，分别交椭圆C于A，B两点，则|PA|2+|PB|2=a2+b2.恰好是a2+b2，大胆猜想得出了如下结论.

结论1对于椭圆C

笔者通过对文章的仔细审读和试题的深入研究，结合笔者撰写的文［2］，认为有必要作如下三点补充.

一、研究变式，拓宽通道

一般情况下对一个问题的研究，往往从横向、纵向和逆向三个方面切入，这样的研究更加丰富和饱满且能保持问题的本来面貌，下面的三个变式均是对文［1］的补充和对下面的研究的有效铺垫.

证明：设P（0，t）（-1≤t≤1），直线为y=±1x+t，A（x，2

1y1），B（x2，y2）.由消去y，得2x2±4tx+4t2-4=0，Δ=所以

解：当直线l的斜率不存在或为0时，显然都不合题意.

设P（m，0）（-2≤m≤2），直线l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

二、整合变式，完善命题

通过对上面变式题组以及点P位置变化的研究，不难得出如下更为完善的结论：

图1　

结论的充分性文［1］作者已经给出了证明.下面我们来证明必要性，为了体现直线的参数方程对线段长……