☉浙江省绍兴市柯桥区鉴湖中学　张爱萍

一道导数题的探究历程与感悟

☉浙江省绍兴市柯桥区鉴湖中学张爱萍

在解题中我们经常会面对一些思维困境，这些困境产生的原因，可能是题目的本质不能准确识别或解题策略的选择不恰当或题目条件运用的不充分，因此在解题中要善于及时变换思考问题的角度，大胆地挖掘条件的特定含义，对问题进行重新的审视与分析.这些就是解决数学难题较为有效的途径.

一、问题展示

在很多时候，不少学生会纠结于如何提高自己的解题能力.笔者一直认为提高解题能力，需要解题经验的积累，运算能力的提高，思维能力的开发，以及一定的数学素养的提升.尽管如此，我们在遇到难题的时候，也会经常出现百思不解，破题无门，望题兴叹的状况.最近笔者遇过一道导数题，现将笔者的感悟与读者分享.

问题已知m∈R，f（x）=2x3+3x2+6（m－m2）x.

（1）当m=1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

二、疑云重重

这道试题第二问可以获取的信息有：多元恒成立问题，函数f（x）应该有两个极值点，图像过原点，在区间［k，0］上恒成立，求最小值k（m）可能要判断f（x0）=20时x0的值，面对这些信息，我们的思维可能要陷入困惑：

（2）常规的想法是可能要把（m－1）2（1－4m）的最大值求出来，使得［（m－1）2（1－4m）］max≤f（x），是不是要构造函数g（x）=（m－1）2（1－4m）求最大值？

（3）两个极值点x1，x2和区间［k，0］是什么关系？需要分类讨论吗？

（4）y=20究竟有多高？会比区间［k，0］内的极大值高还是低？

三、拨云见日

波利亚认为：“对自己提出问题是解决问题的开始，当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了.”其实对于每个初遇该题的人，都会或多或少地考虑上面的问题.然后随着思考的深入，便会出现两种结局，要么是为越想越复杂而烦恼，最终彻底放弃；……