严恒普,　杨联强,　戴习民

(1.安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601;　2.合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009)



基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用

严恒普1,杨联强1,戴习民2

(1.安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601;2.合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009)

[摘要]提出一种利用惩罚回归样条拟合被积函数f(x)，从而计算复杂积分f(x)dx的新方法.在仅知f(x)带随机扰动的离散数据点集的情况下，利用基于截断幂形式的样条基函数，通过惩罚样条回归，给出函数的多项式拟合结果，再根据该多项式形式便捷计算出积分.模拟和实际应用结果显示该方法计算简单快捷，并具有较好的准确度.

[关键词]惩罚样条； 积分计算； 回归

1引言

2惩罚回归样条与积分计算

2.1　惩罚样条回归

对于给定的离散数据点集(xi,yi)，i=1,2,…,n. 有多种方法可以发掘其内在的函数关系yi=f(xi)+εi，在以截断幂基样条函数为拟合工具情况下[6]，通常设

(1)

记

y=(y1,y2,…,yn)′，D=diag[0p+1,1m]，即D是由p+1个0和m个1构成的对角矩阵.模型(1)的拟合方法设为添加了惩罚项的广义最小二乘回归，目标函数为

‖y-Xβ‖2+λβ′Dβ,λ≥0，

(2)

其中λβ′Dβ称作惩罚项，其意义是控制拟合曲线对数据点的过度拟合现象，从而使得拟合曲线在拟合优度与曲线总体光滑性之间达到一个良好的平衡，λ称为惩罚参数.

令L=(y-Xβ)′(y-Xβ)+λβ′Dβ，化简后

L=y′y-2X′yβ+β′X′Xβ+λβ′Dβ，

(3)

(4)

(5)

惩罚参数λ的取值是使得如下定义的GCV(generalized cross-validation)得分取值最小的数值[6]，

2.2　积分计算

3模拟

本节给出两个被积函数已知的实例来说明上节方法的应用，并观察计算结果.

如图1a中所示，实曲线为原函数f(x)=sin2x+2e-16x2，虚线为拟合曲线，可以……