李灵晓,李保安

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)



Gardner-KP方程的孤立波解

李灵晓,李保安

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)

摘要：行波约化后的Gardner-KP方程，通过未知函数的倒置变换，转化为一个易于求解的非线性常微分方程(ordinary diffrential equation,ODE)。其解可选取与之紧密相关的二阶线性ODE的解而得到，进而获得Gardner-KP方程的有界钟状孤立波解、扭状孤立波解、有理函数解和无界奇异孤立波解。

关键词：Gardner-KP方程；未知函数倒置变换；钟状孤立波解；扭状孤立波解；有理函数解；奇异孤立波解

0引言

本文研究如下形式的Gardner-KP方程[1-2]：

(ut+6uux+6βu2ux+uxxx)x+uyy=0,β=±1。

(1)

方程(1)被看作是Gardner方程[3-4]

ut+6uux+6βu2ux+uxxx=0

的一种推广形式，后者常用来描述浅海域中的水波运动；正如KP方程[5]

(ut+6uux+uxxx)x+uyy=0，

可看作KdV方程

ut+6uux+uxxx=0

的一种推广形式，而KdV方程常用来描述小振幅和弱色散一维波动的传播。

当β=1，式(1)称为正的Gardner-KP方程；当β=-1，式(1)称为负的Gardner-KP方程。文献[1]利用Hirota双线性方法得到了式(1)的多孤子解。文献[2]利用直接对称方法又获得了式(1)的对称与群不变解。

在非线性科学中孤立波作为一类重要的物理现象，长期以来被众多数学物理学者所研究。以往文献获得孤立波解的方法很多，主要有齐次平衡法[6]、F-展开法[7]、(G′/G)-展开法[8-9]和(1/G)-展开法[10]等，本文的目的是通过行波约化和未知函数倒置变换，求出Gardner-KP方程的多种孤立波解。

1行波约化与倒置变换

作行波变换：

u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+ky-Vt，

(2)

其中：V和k为常数。将式(2)代入式(1)，对ξ积分两次并令积分常数为0，得到二阶非线性ODE：

u″=(V-k2)u-3u2-2βu3,u→0当ξ→+∞(或-∞)。

(3)

为求解式(3)，两边同乘以2u′，对ξ积分一次并令积分常数为0，得到如下一阶ODE：

u′2=(V-k2)u2-2u3-βu4,u→0当ξ→+∞(或-∞)。……