王佳佳，赵金玲，徐　尔

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)



张量扩展特征值的带位移幂法和共轭梯度法

王佳佳，赵金玲，徐尔

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

摘要：针对与牛顿迭代相关的张量扩展特征值问题，在幂法的基础上，提出了求解特征值与特征向量的带位移幂法和共轭梯度法。分析了这两种算法的收敛性，并通过数值试验初步验证了其有效性，同时对两种算法进行了比较。

关键词：牛顿法；张量；特征值；带位移幂法；共轭梯度法；收敛性

0引言

在多重线性数值代数中，高阶张量的特征值已经成为一项重要课题，并在多项式最优化、高阶马尔科夫链、超图理论等领域有广泛的应用。

文献[1]提出了求解不可约非负张量最大特征值的幂法。文献[2]用高阶幂法解决了高阶张量逼近问题，并证明了对称高阶幂法不一定收敛。文献[3]和文献[4]分别给出带位移对称高阶幂法和梯度算法计算实对称张量的Z-特征值,并证明其收敛性。文献[5]通过平方和规划来解决张量特征值问题。文献[6-7]将张量特征值问题转化为非线性方程组，分别通过牛顿法和拟牛顿法来求解该方程组，从而得到张量的特征值。文献[8]指出牛顿迭代与张量特征值之间有紧密的关系，提出了新的张量特征值问题：

(1)

称上述问题为张量扩展特征值问题,称(λ,x)为问题(1)的特征对。其中：Jf(0)为二阶连续可微函数f的雅可比矩阵；Hf(0)为f的海塞矩阵，是一个三阶张量。下面假设Jf(0)总是可逆的，Hf(0)是实对称的。

文献[8]初步用幂法求解了问题(1)，在幂法的研究基础上，本文给出求解其特征对的带位移幂法。……