正多边形顶角和各边带电在中心处场强的计算

2016-01-12杨培军

物理通报 2015年9期

关键词：点电荷顶角等量

王鹏　杨培军

(界首市界首中学　安徽阜阳　236500)

正多边形顶角和各边带电在中心处场强的计算

王鹏杨培军

(界首市界首中学安徽阜阳236500)

摘要：在正多边形每个顶角上各放置一个等量同种点电荷，则中心处合场强为零，对于这一结论本文给出了3种证明方法；并进而分析了正多边形每个边均匀带电等情况．

关键词：正五边形正多边形合场强点电荷对称

正多边形对称性强，匀称美观，是一种很常见的图形，如果让正多边形带上电荷，那么其中心处的电场强度是多少呢？本文分析了几种简单情况．

1正多边形各顶角均放置一等量同种点电荷

1.1问题的提出

【例1】在不少资料中，都有这样一道题：如图1(a)所示，A，B，C，D，E是半径为r的圆周上等间距的5个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为-q外，其余各点处的电荷量均为+q，则圆心O处

图1

此题的关键在于证明一个结论：在正五边形每个顶角上各放置一个等量同种点电荷[如图1(b)]，则正五边形中心处合场强为零．这个结论可以推广到正n边形的情况．本文给出了3种证明方法．

1．2结论的证明

1.2.1对称法

先证明边数为偶数的情况．此时正多边形具有中心对称性．以正六边形为例，如图2所示，很显然，各点电荷在中心O点产生的场强两两抵消，中心O点的合场强为零．

图2

综上所述，无论正多边形的边数为偶数还是奇数，其中心处合场强均为零．

图3

1.2.2图像法

把表示场强的有向线段平移，使之成为一个首尾连接的正多边形．

以正五边形为例，在图4中，任选一个场强例如E3保持不动，平移E2，在平移时要注意在圆心O处E2和E3之间的夹角为72°(图4中α)，而正五边形每一顶角为108°，恰好互补，因此将E2平移，使其起点为E3的终点，则E3的终点处角度恰好为108°，这说明E3的终点为正五边形的某一顶点．然后按顺时针顺序依次平移E1，E5，E4，即可得到一个首尾连接的正五边形，由此即可说明5个场强的矢量和为零．

图4

图5

1.2.3 平面向量法

我们直接证明正n边形的情况(图6)．以正n边形中心为坐标原点，以En所在直线为x轴，垂线为y

α2=2α，E3与x轴夹角α3=3α，……，En与x轴夹角αn=nα．令场强大小为E，接下来我们写出每个场强在x,y轴上分向量合成的形式，在x,y轴上的单位矢量设为i,j．

图6

E1=iEcosα+jEsinα

E2=iEcos 2α+jEsin 2α

E3=iEcos 3α+jEsin 3α

……

En=iEcosnα+jEsinnα

E合=E1+E2+E3+…+En=

iE(cosα+cos 2α+…+cosnα)+

jE(sinα+sin 2α+…+sinnα)

下面我们来证明两个坐标均为零．这是很著名的三角函数题，利用积化和差等三角函数公式即可计算出结果，计算细节略去．

cosα+cos 2α+…+cosnα=

(1)

sinα+sin 2α+…+sinnα=

(2)

至此我们用了3种方法证明了结论，有了这个结论，接下来很容易就解决例1这道题了，解题过程从略．

2正多边形每个边都均匀带电

正多边形每个边都均匀带同种电荷，电荷的线密度为λ，且电荷固定，不能自由移动，则正多边形中心处合场强仍为零．我们用两种方法来证明．

2. 1将问题转化为正多边形每个顶角上带等量同种点电荷的情况

先来考虑某一个边在中心处产生的场强．如图7所示，由对称性很容易看出AB边在中心O点产生的场强沿AB边中垂线方向(具体方向要看电荷的种类)，很显然在AB边中点处放置一适当同种点电荷q，可以在中心O点产生相同的场强，这样问题就转化成了图7(b)的情况(正多边形每个边不带电，每边中点均放置等量同种点电荷q)，根据第一部分的结果，正多边形中心处合场强为零．至于电荷量q是多少，我们会在第二种方法中计算．

2. 2将问题转化为均匀带电圆环的情况

过中心O点作正多边形的内切圆[图8(a)]，半径为R，让该圆均匀带电，电荷种类和线密度与正多边形均相同．设该内切圆与边AB的切点为C，如图8(b)所示，我们来证明边AB在中心O点产生的场强等于均匀带电圆弧A1B1在中心O点产生的场强[1]．