储药柜优化设计研究

褚正清1，刘家保1，金成林2

(1.安徽新华学院公共课教学部,安徽 合肥 230088；2.安徽新华学院商学院,安徽 合肥 230088)

摘要：在忽略横向和竖向隔板厚度的前提下，兼顾药品发放的准确率、补药的便利性、储药柜的平面冗余量及适应力、储药柜的成本和药物需求量等因素，建立数学模型，得到了基于所给数据的较优储药柜设计。

关键词：储药柜；冗余度；多元函数极值；Matlab

中图分类号：TB 472

作者简介：袁桂林(1983-)，女，江苏盐城人，工程师，硕士，现从事固体矿产、页岩气调查评价研究。

Optimization Design of Storing Cabinet

CHU Zheng-qing,LIU Jia-bao,JIN Cheng-lin

(1.Department of Mathematics and Physics,Anhui Xinhua University,Hefei,Anhui 230088,China；

2.School of Business,Anhui Xinhua University,Hefei,Anhui 230088,China)

Abstract:Neglecting the horizontal and vertical baffle thickness,considering the factors of drug distribution accuracy,drug supplement convenience,plane redundancy and resilience of medicine cabinet,the cost of storing cabinet，and drug demand,a mathematical model was established to achieve the optimal design of storing cabinet based on data.

Key words:storing cabinet；redundancy；extreme value of multivariate function；Matlab

1问题的提出

为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间留2 mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，给出下面几个问题的解决方案。

①药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，在给出了一些药盒的规格条件下，计算出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案。

②药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2 mm的部分可视为宽度冗余,增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少,计算出合理的竖向隔板间距类型的数量。

③考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5 m、高度不超过2 m，传送装置保证药房储药满足需求，根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。占用的高度为0.5 m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5 m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2 mm的部分可视为高度冗余，平面冗余=高度冗余×宽度冗余。在问题2计算结果的基础上，确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

④在已知每一种药品对应的最大日需求量条件下,在储药槽的长度为1.5 m、每天仅集中补药一次的情况下，计算每一种药品需要的储药槽个数。为保证药房储药满足需求，根据问题3中储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。

2问题的分析

问题1的分析

该题是在如下的约束条件下，设计竖向隔板间距类型最少的储药柜：

(1)药盒与两侧竖向隔板之间应留2 mm的间隙即药槽宽与药盒宽的差值不小于2 mm；

(2)药槽内不能出现药盒的并排重叠现象即药槽的宽度小于药盒宽度的两倍；

(3)药槽内不能出现药盒的侧翻和水平旋转问题，即药盒的宽高对角线和长宽对角线大于药槽的宽度。

问题2的分析

该题意在寻找合理的储药槽宽度设计，同时兼顾储药槽的适应能力和有效利用度。为此，建立合理的数学模型，以期达到总宽度冗余即药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2 mm的部分之和尽可能小，同时槽宽类型数量尽可能少。本题在问题1 给出的最少储药槽宽度类型的基础上，逐一增加使得总宽度冗余最少的储药槽宽度类型。

问题3的分析

平面冗余=高度冗余×宽度冗余，由问题2可得总宽度冗余较小的槽宽类型数量，为达到总平面冗余较小的目的，需要建立数学模型寻找合理的槽高类型使得总高度冗余较小。

问题4的分析

(1)由问题2和问题3可得平面冗余较小的储药槽类型，有药盒的宽度和高度得到每一种药品所需的储药槽类型，由储药槽的长度和药盒的长度得到一个储药槽容纳药盒的数量，再由每一种药品编号对应的最大日需求量结合一个储药槽容纳药盒的数量即可得每一种药品需要的储药槽个数；

(2)在储药槽类型确定的情况下，寻找合理的组合方式设计储药柜，使得在满足问题3中单个储药柜的规格的情况下，所需储药柜最少。

3模型的建立与求解

问题1的模型建立与求解

由题意可知列出线性方程，药盒放在药槽图形如图1所示

图1　药盒放在药槽示意图

(1)

d-2≥y

(2)

(3)

(4)

转换得：

y+2≤d<2y

(5)

(6)

(7)

类型一：12≤d<20；类型二：20≤d<35；类型三：35≤d<47；类型四：47≤d<64(数据中药盒规格最大为58，属于这个[47,64)左开又闭区间内，则药盒的规格应为58。即类型四为[47,58]。即Ai∩Aj=Φ(i，j=1，2，3，4)它们之间没有交集则可知道它们分为一类，且根据附录一中给的数据，由此可知储药柜设计类型的数量为4种，且每种类型所对应药盒的规格为19、34、46、58 mm。

问题2的模型建立与求解

由问题1的分析可知药盒有4种规格，分别是19,34,46,58 mm。所以一开始最少要建立4个隔板，药盒的摆放见图2。由附件二、四类的情形可知，总冗余长度为13 865 mm。问题二的目的是要增加竖向隔板的间距类型数量，从而有效地减少宽度冗余，但是要考虑到成本和实际情况则需要合理的增加隔板的数量和位置。则有以下几步。

图2　储药柜的侧剖面及药品摆放示意图

第一步(4个规格)，由问题1得到四类分法，分别是[12,20)、[20,34)、[34,46)、[46,58],在这个四类利用二分法，根据它们之间的变化量大小解得每一类型的最优解。一类中▽最大的是那一类中的最优解。例如：第一类中的最优解求法，当把隔板插入12这个药盒规格的储药槽内，减少量是最大药盒规格减去其他药盒的规格然后乘以各自减去的其他药盒规格的数量，即s=(19-19)×69+(19-18)×94+(19-17)×75+(19-16)×28+(19-15)×8+(19-14)×3+(19-13)×3=393,当插板插入13这个药盒规格的储药槽内，即s=(19-13)×6=18，s1=(13-12)×6=6，Δ=s-s1=12,当插板插入14这个药盒规格的储药槽内，即s=(19-13)×3+(19-14)×3=33，s1=(14-12)×6+(14-13)×3=15，Δ=s-s1=18,以此类推算出当插板分别插入15，16 ，17,18这些药盒规格的储药槽内，最终求出Δ最大的为17，即17 mm为第一类的最优解。利用第一类的算法算出第二类、第三类、第四类的最优解分别为23,38,50 mm。

第二步(5个规格)，算出每一类的最优解后，在加一个隔板算其冗余度。将隔板分别插入药盒规格为17、23、38、50 mm这几个药品规格的储药槽，算出它们的总冗余长度分别是13 619、7 749、13 681、12 897 mm,选出总冗余长度最小的，即与附件4种四类情形的总冗余相比较增量最大、冗余长度最小，则药盒规格为23 mm是第五个隔板。

第三步(6个规格)，根据以上的5个隔板位置为19、23、34、46、58。当隔板插入23这个药品规格它们的冗余长度发生变化，为比较，在[20,34)这一类中，逐次在每一药品规格插入隔板，比较它们的冗余长度，选取最小的，最终比较得出第六块隔板的位置在药盒规格为28 mm。

第四步(7个规格)，得到第六块的隔板的位置后，在加1个隔板，求出最优解，比较与6块隔板的总冗余长度。原理同步骤三，比较得出第七块隔板的位置在药盒的规格为38 mm。

第五步，同理可得,比较得出第八块隔板的位置在药品规格为50 mm。第九块隔板的位置在药品规格为22 mm。

第六步比较每一类的冗余长度，算出每一类与第四类冗余长度的增值，算出百分比，得到最优的一类。结果如表1、图3。

由下图可见百分比越小的竖向隔板间类型的数量最合理，但是题目中要求满足设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时希望间距类型数量尽可能少这两个条件，虽然增加增加竖向隔板的间距类型会减少宽度冗余，但是会增加储药柜的加工成本，综合实际情况考虑，第九类最优19、22、23、28、34、38、46、50、58 mm。

问题3的模型建立与求解

表1　百分比结果

图3　(表1的柱形图)

问题3的数学模型建立

思路与问题2的思路是一样的。题目3中要求总平面冗余最小，平面冗余=高度冗余*宽度冗余，在问题2的计算结果中宽度冗余已经确定了，问题3中要求平面冗余最小，则需要求出最小的高度冗余。所以有以下步骤。

第一步(第一类，两种规格)根据附件三中的二类槽高数据可以知道所有类型药品盒子的高度和对应高度的数量。结果显示所有药品盒子最大的高度是125 mm,但是有两毫米的冗余高度，所以要建立一个槽高为127 mm的储药槽，否则最大高度的药品无法装。另外附件三中发现药品规格为70 mm的数量最多，根据实际情况说明此类药盒规格的要需求量大，则建一个72 mm的储药槽，方便拿药，所以一开始建立两个隔板，对应的槽高为72 mm、127 mm.它们的总高度冗余度是50 832 mm。

第二步(第二类，三种规格)已经找到两个最优解，将药盒的规格的高度分为两类，分别是[30,71]、[73,126],然后再在这两类中逐一插隔板，逐一比试，求出另一个最优解，原理同问题2的第一步,第一类中最优解的槽高为53 mm,对应的高度冗余为40 705 mm,第二类中最优解的槽高为84 mm,对应的高度冗余为27 440 mm。算出改变量H53=10 127 mm,H84=23 392 mm,可知槽高为84 mm的增量比较大，则它的冗余度较小，则第三种规格就是槽高为84 mm的药盒规格。

第三步(第三类，4种规格)，在第二步中确定了第三种规格是槽高为84 mm,从而槽高又被分成三大类[30,71]、[73,83]、[85,126]。因为[30,71]这一类，前面已经完成，所以不需要重新去试，改变量H53=10 127 mm。其它两类处理方法与第二步一样，逐一插板，逐一试，求出最优解。[73,83]这一类，最优解是槽高为78 mm,高度冗余为25 376 mm,[85,126]这类中最优是槽高为95 mm,高度冗余为24 656 mm,该变量H78=2 046 mm,H95=2 784 mm,比较得出第四种规格的槽高为53 mm。

第四步:后面所有种类的方法都同步骤二，同理可得出数据，如表2所示。

第五步、第六步比较每一类的高度冗余长度，算出每一类与各前一高度冗余长度的增值，算出百分比，得到最优的一类.如表3、图4：

表2　改变量结果

表3　槽高百分比

图4　槽高百分比树状图

由上图可见百分比越小的横向隔板间类型的数量最合理，即第九类、第十类、第十一类最合理，但是题目中要求满足设计时希望储药柜的总平面冗余度尽可能地小，虽然增加横向隔板的间距类型会减少高度冗余，但是会增加储药柜的加工成本，综合实际情况考虑，第九类最优。即横向隔板间距类型的数量为9，分别为127、72、84、53、95、64、43、78、49 mm。

问题4的模型建立与求解

题目中要求计算每一种药品需要的储药槽个数，则需要知道药槽的宽度和高度，根据问题二问题三可知药槽的规格分别有9种，则储药槽规格就有81种，然后分别对药槽宽度和药槽高度进行排序，得到它们的分类。

对药品编号进行升降排序，可知编号为1的盒长为120 mm,由题目3中可知储药柜的宽度不超过2 500 mm,高度不超过1 500 mm,则每一槽类放盒子的个数a=c/b=12.5，根据实际情况储药槽不会有0.5个，所以要取整。以同样的方法计算得出a的值是整数，取整，算出所有的个数，统计每一种药品需要的储药槽个数。

要计算出最少需要多少个储药柜，则先需要算出单个储药柜的规格，储药柜的示意图见图5。

图5　储药柜立体示意图

算出单个储药柜的规格就要算出高度规格和宽度规格。对附件4中所需的槽数进行统计同高所需的槽盒数和同宽所需的槽盒数，以高为例，高类型一的槽盒数为38，求出高类型一不同的宽度类型的比例，设它们的比值为y1∶y2∶y3∶y4∶y5∶y6∶y7∶y8∶y9，求得一个值F=f(x1，x2，…x8)，利用多元函数的极值的方法，求其唯一的驻点，所求的驻点无不可导点，若在实际中确实存在最小值点，则改驻点必为最小值点，然后利用Matlab软件，算出最合理的比例，宽度规格同理可得。

最后求的每一类的所需药柜数，同理可求得每一类的所需药柜数，在其中选取一个最大的药柜数，则最大药柜数位5，即最少需要5个储药柜。

4结语

将多组数据进行归类，结果简单明了；使用Excel计算机软件对数据进行处理，操作方便，快速得出结果；建立模型的原理简单易懂，切实可用。本文得到的结果有一定的指导意义，还可以推广到商场物品储存柜的设计上。

参考文献：

[1]刘仁云.数学建模方法与数学实验.北京：中国水利水电出版社，2011：1-51.

[2]刘小明.二分法思想的应用.高中生之友，2011，09(11)：123-125.

[3]李练兵，柳倩，郭勇.滚动式智能取药柜的设计与实现.制造业自动化，2009，8(11)：99-100.

[4]骆旗，侯扬扬.多元函数极值的应用研究.高等数学应用研究卷，2014，8(15)：111-112.

[责任编辑：郑秀亮英文编辑：刘彦哲]