付亮，马亚磊，蔡远利

(西安交通大学 控制工程研究所，陕西 西安710049)

0 引言

高超声速飞行器飞行高度高、速度快和突防能力强的特点，使其具有巨大的军事价值和经济价值，成为航空航天领域的研究热点。高超声速飞行器的气动特性和飞行动力学特性变化剧烈，参数存在较强的不确定性，迎角和舵偏等受到严格的约束条件限制［1-2］，使其成为学术研究的难点。

近年来，一些先进的控制算法被用于高超声速飞行器的控制器设计中，如鲁棒控制［3］、模型参考控制［4］和自适应控制［5］等。这些算法无法显式处理约束条件，只能通过调节设计参数或者调节参考轨迹的变化速率来保证状态和控制在给定约束条件内，但是，这是以牺牲部分控制性能为代价的。针对上述问题，文献［6-7］提出将预测控制方法应用于高超声速飞行器，该方法可以在设计控制器时即考虑控制和状态的约束，是非常有效的处理多变量、受约束系统的控制方法。但是由于其需要在每一步进行在线优化计算，在线计算时间较长，无法满足高超声速飞行器控制的实时性要求。针对在线鲁棒预测控制的计算时间问题，文献［8］提出离线鲁棒预测控制算法，把在线优化转化为离线优化，极大地减少了计算时间;但是其在设计控制律时是对系统进行整体设计的，忽略了各个因素对控制的影响程度，导致系统调节时间较长。

本文考虑各个因素对控制的影响程度，提出了单因素融合预测控制方法，并将其应用于高超声速飞行器的控制器设计中。首先在平衡点将高超声速飞行器的动力学模型进行小扰动线性化得到预测模型;然后，给定一系列离散的单因素状态，离线设计单因素椭圆不变集序列和相应的控制量序列，在线时将离线获得的单因素控制量序列进行融合获得最终控制规则，作用到高超声速飞行器(非线性模型)，仿真结果验证了方法的有效性。

1 问题描述

高超声速飞行器的运动可以分解为纵向运动和侧向运动。本文针对高超声速飞行器的纵向运动进行研究，其典型的非线性运动模型为:

式中:V，γ，H，α，q 分别为飞行速度、弹道倾角、飞行高度、飞行迎角和俯仰角速度。考虑典型的高超声速飞行器模型［9］，飞行器飞行参数为:

将式(1)写成向量形式，离散化为:

式中:状态变量 x=［V，γ，H，α，q］T;控制变量 u=［η，δz］T。本文控制目标是通过控制舵偏和发动机节流阀开度，使得飞行器高度和速度快速跟踪参考指令信号。

2 单因素融合鲁棒预测控制

2.1 鲁棒预测控制基本原理

本文采用不确定性描述方式，考虑时变不确定系统:

即存在 L 个非负系数 λi(k)，i∈{1，…，L}，使得

控制及状态约束为:

鲁棒预测控制即:对于式(3)，最小化最坏情况的性能指标［6］:

对于式(3)，在约束式(6)下，定义 Qt=γP－1及Yt=FQt，上式等价于最小化性能指标上界 γ＞0，即:

式中:j=1，2，…，L。

求解式(8)～式(11)，若该优化问题存在可行解，定义椭圆不变集为，则控制律为若优化初始可行，则闭环系统为鲁棒渐近稳定的。

2.2 离线鲁棒预测控制原理

2.2.1 离线设计椭圆不变集

在状态可行域中设计一系列离散状态点xi，i∈{1，2，…，N}，用 xi代替式(9)中的 x(k)，优化式(8)～式(11)，得到相应的控制增益和椭圆不变集}，将和 Fi存储于可查询表中。xi应满足条件，∀i=2，…，N，即椭圆 εi－1包含椭圆 εi。

2.2.2 在线查找控制规律

对于k时刻系统状态x(k)，在上述表中查找i，使得x(k)TQi－1x(k)≤1且(i=1，2，…，N －1);或者(i=N)，那么在线实时控制律为u(k)=Fix(k)。初始状态x(0)满足x(0)TQ1－1x(0)≤1 时，状态x最终收敛于平衡原点，控制器使得闭环系统渐近稳定。

2.3 单因素融合鲁棒预测控制算法

传统离线鲁棒预测控制器在离线生成椭圆不变集序列的同时，考虑了状态变量中所有子变量，生成了一组椭圆不变集序列，忽略了各子变量在椭圆集中的“权重”。因此，本文将状态变量单独研究，提出了单因素融合鲁棒预测控制算法。

2.3.1 离线计算单因素椭圆集序列及其控制增益

对于系统式(3)，假设系统状态变量为 x=［x1，x2，…，xn］，针对系统状态中需要跟踪的 m 个状态子变量xi单独离散取点，得到系统变量m个一维子空间xi(i=1，2，…，m)，用xi代替式(8)中的x(k)，优化式(8)～式(11)，生成m组单因素椭圆不变集序列εi，其中每组椭圆不变集序列包含N个椭圆，将m×N个离线控制律参数和椭圆不变集(i=1，2，…，m;j=1，2，…，N)存入可查询表中。

2.3.2 在线插值融合计算

其中，α满足如下条件:

根据单因素控制律权重系数，将上述所得单因素控制律进行加权融合，可得系统控制律为:

3 高超声速飞行器单因素融合鲁棒预测控制器设计

3.1 预测模型

本文采用小扰动线性化模型作为高超声速预测模型。在平衡点(V=16 635 km/h，γ =0°，H=33.56 km，α =1.79°，q=0 rad/s)将式(2)进行小扰动线性化，得到预测模型:

3.2 高超声速飞行器控制规则设计

根据高超声速飞行器飞行特点，为使高超声速飞行器跟随给定高度和速度参考指令信号，分别在速度和高度平衡点附近取离散状态点:

分别针对速度和高度离散状态点，运用单因素鲁棒预测控制算法，可得速度和高度的单因素椭圆集序列与单因素控制量序列，并将单因素控制参数分别存储于表V和表H。分别将基于速度和高度的单因素椭圆集映射到速度-高度平面，如图1和图2所示。

在线时，根据高超声速飞行器当前状态，分别在表V和表H中查找包含当前状态的最小椭圆对，计算获得高度和速度的单因素控制律，最后根据2.3.2节所述方法，将单因素控制律融合计算，最终获得高超声速飞行器控制律。由于上述控制律是针对偏量系统进行设计的，在实施控制规则时，应在控制量中加上相应的平衡点才能施加到原来的非线性系统中。

图1 速度离散单因素椭圆集Fig.1 Univariate ellipse set based on the discrete velocity

图2 高度离散单因素椭圆集Fig.2 Univariate ellipse set based on the discrete altitude

4 仿真试验及结果分析

假设平衡点为高超声速飞行器期望巡航状态，给定初始状态为(V0=16 525 km/h，γ0=0°，H0=33.528 km，α0=1.79°，q0=0 rad/s)。控制变量和状态变量的加权参数选取为合适维数的单位矩阵，考虑迎角约束－4°≤α≤8°，节流阀设定值与升降舵偏转角的约束为0≤η≤4，－20°≤δz≤20°。仿真过程中质量在±50%之间摄动，摄动规则为m(t)=m0(1+0.5 sinθ)，其中θ为［－π/2，π/2］之间的随机值，m0为飞行器参考质量。

分别采用在线鲁棒预测控制算法［6］、离线鲁棒预测控制算法［8］和单因素融合鲁棒预测控制算法对高超声速飞行器进行控制。所有的仿真均在Intel(R)Core(TM)i3-2310M CPU 2.10 GHz，2.00 GB，Matlab2009a上进行。仿真时间设置为20 s，在线鲁棒预测控制算法仿真运行时间为259.5 s，离线鲁棒预测控制算法仿真运行时间为2.5 s，单因素融合鲁棒预测控制算法仿真运行时间为3.6 s。仿真结果如图3和图4所示。

图3 系统部分状态响应曲线Fig.3 Response curves of the state of the system

图4 控制律变化曲线Fig.4 Varying curves of control law

由图3和图4可知，三种方法均可以实现对速度和高度参考指令信号的跟踪，且系统状态和控制变量满足约束条件。在线鲁棒预测控制算法在每一个采样时间都需要求解关于线性矩阵不等式的优化问题，获得最优控制律，因此，系统调节时间最短，振荡较小，系统稳态偏差几乎为0，但是需要的计算时间较长，不能满足控制器实时性要求，以时间换取性能。离线鲁棒预测控制算法与单因素融合鲁棒预测控制算法将在线优化问题转化为搜索与融合问题，以次优控制律代替最优控制律，在仿真运行时间骤减的同时系统调节时间变长，以控制性能换取仿真运行时间，满足控制器实时性要求。由于单因素融合鲁棒预测控制算法需要计算两组椭圆集序列，因此，仿真运算时间多于离线鲁棒预测控制算法。相比于离线鲁棒预测控制算法，单因素融合鲁棒预测控制算法在线计算控制律时考虑各状态子空间对控制律的影响，将单因素控制律融合，控制“目的”更加明确，在减小仿真时间的同时，系统稳态偏差和系统调节时间明显减小，系统振荡较小，控制效果大大改善。

5 结束语

针对传统离线鲁棒预测控制忽略各个因素对控制律的影响程度，本文提出了单因素融合鲁棒预测控制方法，并将其应用于高超声速飞行器的控制器设计中。该方法将在线预测控制的优化问题转化为离线计算，极大地减小了仿真运行时间，并且由于在在线控制律计算中，充分考虑了各个因素对控制律的影响程度，从而改善了离线鲁棒预测控制的控制性能。

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