常允刚，孙秀霞，董文瀚，李大东，刘日

(1.空军工程大学 航空航天工程学院，陕西 西安710038;2.中国人民解放军95039部队，广东 汕头515049)

0 引言

超低空空投是指飞机在5～15 m高度借助牵引伞或其他装置将货物从后舱门投向地面的过程。从控制的角度看，低空重装空投面临的是一个强耦合、强非线性、且外界扰动大的不确定控制系统［1］，传统的线性小扰动飞行控制律设计方法不再适用;采用反馈线性化方法要求精确建立飞机非线性力和力矩模型并且需要实时求逆，其实际应用有较大限制［2］，而空投模型参数变化大、外界扰动大，非线性得不到完全对消，将会降低飞控系统的鲁棒性。

反步自适应控制方法为非线性控制系统的设计提供了系统的设计过程，同时反步控制基于Lyapunov稳定性理论，可以解决一大类非线性系统的不确定性问题。近年来，这一技术凭借快速的收敛性和良好的鲁棒性在飞行控制系统设计中得到越来越多的关注，是一种解决非线性多变量解耦控制问题的新方法［3-4］。反步控制技术核心在于提出虚拟控制器的观点，利用系统的结构特性一步步递推构建出整个系统的控制算法，该控制策略在选取Lyapunov函数和控制器设计时具有较大的灵活性，通过选取适当的Lyapunov函数和系统参数，可以改善系统的动态性能，鉴于其独特的设计理念及可以处理非匹配不确定性问题，可以解决一大类非线性系统的稳定控制问题，在航空领域的应用越来越得到重视［5-9］。

本文针对具有强耦合性、强非线性且扰动大的重装空投过程数学模型，利用带参数自适应的反步控制方法设计了重装空投纵向内环姿态保持控制器。通过参数自适应更新律逼近系统不确定性参数矩阵及控制输入增益矩阵，在此基础上设计了反步控制器，解决了重装空投系统非线性不确定性问题，同时采用PID控制进行外环高度保持。

1 重装空投数学模型

本文采用的坐标系是英美坐标系［10］。在此坐标系下建立如下重装空投纵向数学模型［11］:

假设1:忽略发动机推力与舵面偏转之间的相互影响，且发动机安装角为0°，发动机模型采取如下的简化模型:

假设2:系统不确定性参数一致有界。以θG(t)代表系统输入增益，σi(t)(i=1，2)代表系统模型不确定性及扰动总和，则对∀t≥0，有θG(t)∈Θ和σi(t)∈Δi成立，其中Θ和Δi为已知紧集。

对式(1)变形为如下非线性仿射方程形式:

式中:x= ［Vb，α，q，θ］T为状态向量;u=［δe，δp］为输入;f(x)，g(x)见文献［11］。

空投过程中，货物移动直接导致载机俯仰角速度、速度、俯仰角发生变化，则在进行控制律设计时，选取［θ，Vb，q］作为内环状态变量，并令x1= θ，x2=［Vb，q］T，则式(3)可写为:

令:

且考虑系统的未建模动态和外界扰动以及控制信号输入增益的不确定性，则式(4)进一步写成带参数的严反馈形式:

式中:θG为系统控制输入信号增益矩阵不确定性。

2 重装空投纵向控制器设计

本文设计了双回路高度保持控制器，如图1所示。外回路以载机俯仰角θ作为控制量，采用PID控制器实现对高度指令Hd的跟踪;内回路采用带参数的反步控制律，在线估计系统模型不确定性和外界扰动以及输入增益的不确定性，以舵偏角δe和发动机节流阀调定值δp为控制输入量，跟踪控制器外回路期望俯仰角θd和期望的速度Vd。

图1 控制结构框图Fig.1 Structure of control system

在设计内环控制器时，真实系统中参数为未知，则需通过自适应在线得到参数估计值。现设计包含参数自适应近似的反步控制器，过程如下:

首先，考虑系统式(5)的第一个子系统式:

令载机俯仰角指令跟踪信号为x1d=θd，则对于系统式(6)，选取虚拟控制信号为:

式中:k1为设计的正参数。选取参数σ1的自适应近似律为:

式中:Γ为设计的参数自适应增益;Proj(·)为射影算子［12］，保证了参数有界，即:σ1(t)∈ Δ1，∀t≥0(Δ1为某已知凸面紧集)。

其次，考虑系统式(5)的第二个子系统式:

设计控制信号

式中:k2为设计的正常数。

选取自适应参数近似律:

Proj(·)同样保证了参数有界，即:σ2(t)∈ Δ2，θG(t)∈Θ，∀t≥0(Δ2和Θ为某已知凸面紧集)。外回路采用PID控制进行高度稳定，并产生期望俯仰角 θd。

3 稳定性证明

在带参数自适应的反步控制中，存在各子系统虚拟控制信号和实际控制信号误差，同时存在自适应参数误差。现分析如下:

定义参数误差为:

定义子系统式(6)的跟踪误差为:

子系统式(9)的跟踪误差为:

对式(16)和式(17)求导得:

取 kmin=min(k1，k2)，令:

考虑Lyapunov函数:

对其求导并注意到货物在载机内移动时，参数σi(t)和θG(t)为强时变的，则有:

将自适应律式(8)、式(12)及式(13)带入式(21)，得:

由于

且在初始时刻载机处于配平状态，则有~xi(0)=0，则容易得到V(0)≤Θm/Γ，此时假设存在时间t'使得V(t')＞Θm/Γ，则必有:

又由于

当货物离机后，载机的参数不确定性不再是强时变的，则式(22)可改写为:

则由Lyapunov稳定性理论可知，系统稳定。

4 仿真结果及分析

基于本文设计的重装空投控制器，以某型运输机为例，在H=10 m高空，采用单列单投形式，完成控制效能仿真对比试验。同时将超低空空投过程中遇到的风场环境对载机纵向通道的影响等效为载机气动参数摄动。载机配平参数V=80 m/s，α=θ=0.065 rad，仿真主要验证控制器的稳定性、鲁棒性及满足空投过程战技指标的相关要求。

外环采用遗传算法进行PID参数整定，其参数为:kP=－0.045，kI=－0.03，kD=－0.018。仿真结果如图2～图8所示。

图2 俯仰角响应曲线Fig.2 Response of pitch angle

图3 升降舵偏角响应曲线Fig.3 Response of elevator deflection

图4 高度变化量响应曲线Fig.4 Response of altitude variation

图6 模型摄动下俯仰角响应曲线Fig.6 Response of pitch angle with parametric uncertainties

图7 模型摄动下高度变化量响应曲线Fig.7 Response of altitude variation with parametric uncertainties

图8 模型摄动下舵偏角响应曲线Fig.8 Response of elevator deflection with parametric uncertainties

从仿真结果可以看出，本文设计的控制器对于飞机姿态及航迹的保持收敛速度较快，且针对气动参数模型摄动具有较好的鲁棒性。

参照国内外运输机在执行单列单投的任务要求，以某型运输机为例，要求姿态角中俯仰角的变化量不超过5°，且最低不小于2°，仿真结果显示俯仰角变化量符合要求，而角速度和迎角亦均满足战技指标要求。

5 结束语

重装空投是一个强耦合、强非线性、存在突变等强干扰的不确定系统。本文设计了基于带参数自适应的块控反步控制的重装空投纵向控制器，克服了系统的不确定性，使系统具有了更好的跟踪性能，同时参数自适应的引入增大了系统的鲁棒性，使其拥有更好的抗干扰能力，具有良好的工程应用前景。

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