朱宗奎

在高中物理学习中，学生若能在理解的基础上记住了一些物理模型或“二级结论”，可 以帮助学生提高解决高中物理问题的效率和准确性。本文主要介绍高中物理中的等时圆模型及其应用.

一、“等时圆”等时性介绍

1.如图1所示，若小球从圆上的顶端A点沿光滑的弦轨道由静止开始滑下，则小球滑到弦轨道与圆的交点的时间都相等，且都等于小球沿竖直直径做自由落体运动的时间，即：

tO= 2d g = 4R g =2 R g ，其中R为圆的半径.

2.如图2所示，若小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道由静止开始滑下，则小球滑到圆的底端B点的时间都相等，且都等于小球沿竖直直径做自由落体运动的时间，即： tO= 2d g = 4R g =2 R g ，

其中R为 圆的半径.

图1 图2

二、“等时圆”等时性的推导

如图1所示，已知圆的半径为R，A为圆的顶点，某物体从A点由静止开始沿光滑弦轨道下滑，光滑弦轨道与水平方向的夹角为α.由牛顿第二定律得，物体沿光滑弦轨道做匀加速直线运动的加速度为：a=gsinα，位移为：s=2Rsinα，所以运动时间为：

tO= 2s a = 4Rsinα gsinα =2 R g

（2）如图4，设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同） 图4

nqEd= 1 2 mv2n-0 ⑤

qvnB= mv2n rn ⑥

粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn ⑦

由图5可得：

rnsinθn-rnsinαn=d ⑧

由⑥⑦⑧式得： 图5

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d ⑨

由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…， rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得：

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d ⑩

当n=1时，由图5看出

r1sinθ1=d B11

由⑤⑥⑩B11式得：

sinθn=B nqd 2mE B12

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则……