陈干

所谓隐含条件，是指题中若暗若明、含而不露的条件.一般来说，它们常巧妙地隐蔽在题设或结论的背后，不易为人们所觉察.在数学解题中，隐含条件具有干扰性、迷惑性，常给解题带来消极因素.若能注意到题中隐含条件，往往会使解题结果更具有完整性、准确性.下面就解析几何中常见的忽略隐含条件导致的错误进行分析，并给出对策.

1.忽略曲线方程点的坐标取值范围限制

例1 若点P（x，y），满足3x2+2y2=6x，试求x2+y2的取值范围.

错解 由已知得y2= 1 2 （-3x2+6x）

∴x2+y2=- 1 2 （x-3）2+ 9 2

故当x=3时，x2+y2的最大值为 9 2 ，即x2+y2≤ 9 2 .

评注 本题解法忽略了点P（x，y）在曲线3x2+2y2=6x上，则点的坐标取值范围受到限制.事实上，由已知2y2=-3x2+6x≥0，得到题设隐含条件为0≤x≤2.故当0≤x≤2时，x2+y2应在当x=2时，取得最大值为4，当x=0时，取得最小值为0.因此0≤x2+y2≤4.

在圆锥曲线方程中，曲线方程点的坐标取值范围受到限制.由此题发现，在研究圆锥曲线方程最值问题时，应充分注意到对自变量的取值范围的研究，否则，将会发生错误.

2.忽略直线的斜率不存在

例2 已知双曲线（x-1）2-y2=1和圆x2+y2=1，直线l同时满足下列两个条件：

（1）与双曲线交于不同两点；

（2）与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得的弦的中点.求直线l的方程.

错解 设直线l的方程为y=kx+b

由直线l与圆相切得b2=1+k2 ①

将y=kx+b代入双曲线方程得

（1-k2）x2-2（kb+1）x-b2=0

当k≠±1时，有Δ>0，这样直线与双曲线有两个交点，设其为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为C（x0，y0），则x0= x1+x2 2 = kb+1 1-k2 ，y0=kx0+b= k+b 1-k2 .

又C为圆的切点，从而（ kb+1 1-k2 ）2+（ k+b 1-k2 ）2=1 ②

由①、②得

k= 3 3 ，b=- 2 3 3 或k=- 3 3 ，b= 2 3 3 .

所以，直线方程为：

y= 3 3 x- 2 3 3 或y=- 3 3 x+ 2 3 3 .

评注 设直线为y=kx+b隐含了斜率k存在，故应再讨论若k不存在时的情况.当斜率k不存在时，即直线l垂直于x轴时，此时，直线方程为……