梁愈

一、函数原理

1.正比例函数

例1 调查某草原的田鼠数量时，在划定的1ha的调查区内，设置100个捕鼠笼，一夜间捕获田鼠32只，将捕获的田鼠经标记后在原地释放.数日后，在同一地方再放置同样数量的捕鼠笼，这次共捕获30只，其中有上次标记的个体10只.请回答下列问题：

（1） 求该地区田鼠种群的个体总数.

（2） 若某种群有成鼠a头（计算时作为亲代），每头雌鼠一生产仔16只，各代雌雄比例均为1∶ 1，则从理论上计算，第n代产生的子代数是多少？

简析 （1）第1个问题可利用重捕标志法，根据样本来估计待查区田鼠种群的个体数.标志重捕法的理论依据是数学中的正比例函数.

设该地区田鼠种群总数为y，第一次捕获的数量

为x只（全部标志再放掉），第二次再捕获的数量

为a只，其中带标志的有b只，有 y x = a b ，因为 a b 为定值，所以y是x的正比例函数，这也说明在某地区捕到的动物越多，该地区此种动物的量就越多.把a=30，b=10，x=32分别代入y= a b x中，则y=96，即为该地区田鼠种群的总数.

（2）由题意可知，田鼠的增长量符合理想条件种群数量增长类型的“J”型曲线，“J”型曲线表示一个指数函数：Nt=N0λt，此函数反映的是理想条件下某种群的初始数量是N0，经过时间t后，以增长率λ连续增长达到的种群总数Nt的过程，得出

t=n，N0=a.因此，解题的关键是求出λ.由于一只雌鼠一生产仔16只，且各代雌雄比为1∶ 1，只有雌鼠才能产仔，即每只雌鼠一生都可产生8只雌鼠，故λ = 8，所以，Nn=a8n，即第n代产生的子代数为a8n.

2.极值问题

例2 在一个草原生态系统中，草为生产者，鼠是初级消费者，进入该生态系统的总能量为m.问在“草——鼠”食物链中，鼠从中获得的能量至多为多少？……