黄卫华，陆亚哲，李艳艳

( 文山学院 数学学院，云南 文山663000)

波兰数学家Z．Pawlak 于1982 年在等价关系基础上提出了经典粗糙集理论，由于在处理不精确、不确定与不完全数据等问题上的独特优势，这个理论被广泛应用于机器学习和知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等诸多领域，因此研究逐渐趋热．

在Pawlak 粗糙集模型［1］中，论域上的等价关系起着至关重要的作用，但在许多实际问题中，论域上的二元关系不是等价的［2－5]，这时Pawlak 粗糙集模型的应用受到限制，为此将等价关系推广到任意的二元关系，得到广义近似空间，并讨论了串行的、自反的、对称的和传递的等特殊的二元关系与近似算子的特性刻画，找到了二者之间性质的联系．

1 预备知识

定义1［1］设U 是非空有限论域，对于∀x∈U，对应一个U的一个子集n(x)．这样n:U→P(U)是一个算子，称为邻域算子．对于X⊆U，记n(X)= ∪x∈Xn(x)，称n(X)为集合X的邻域．

定义2［2］设R是U上的二元关系，对于∀x，y∈U，若xRy，即(x，y)∈R，则称x是y的前继，y是x的后继，记Rx(x)={y∈U|xRy}，Rp(x)={y∈U|yRx}．分别称为x的后继邻域和前继邻域．

定义3［6］设U是非空有限论域，R⊆U×U为U上的一个任意的二元关系，称R是串行的，若∀x∈U，∃y∈U，使得(y，x)∈R，即Rp(x)≠∅;称R是自反的，若∀x∈U，x∈Rp(x);称R是对称的，若∀x，y∈U，x∈Rp(y)⇒y∈Rp(x);称R是传递的，若∀x，y，z∈U，y∈Rp(x)和z∈Rp(y)⇒z∈Rp(x)．

定义4［6］设U是非空有限论域，R⊆U×U为U上的一个任意的二元关系，称A=(U，R)为广义近似空间．

定义5 任意X⊆U，X关于近似空间A=(U，R)的下近似和上近似分别定义为:

引理1［7］设R是U上任意一个二元关系，则对于∀x∈U，有:

2 主要结果

定理1 设R和S是U上的二元关系，则:

证明 (i)“⇒”∀x∈U，若y∈Rs(x)，则(x，y)∈R，而R⊆S，即得(x，y)∈S，即y∈Ss(x)，所以Rs(x)⊆Ss(x)．

“⇐”∀(x，y)∈R⇒y∈Rs(x)，因为Rs(x)⊆Ss(x)，所以(x，y)∈S⇒y∈Ss(x)⇒(x，y)∈S⇒R⊆S．

同理可证Rp(x)⊆Sp(x)．

(ii)因为R⊆U×U，所以～R:U×U－R，∀x∈U，若y∈(U×U－R)s(x)，则(x，y)∉R．即y∉Rs(x)，那么y∈U－Rs(x)，所以(U×U－R)s(x)⊆U－Rs(x)．

∀x∈U，若y∈U－Rs(x)，即y∉Rs(x)，则(x，y)∉R，那么y∈(U×U－R)s(x)，所以U－Rs(x)⊆(U×U－R)s(x)．所以(～R)s(x)=～Rs(x)，同理可证(～R)p(x)=～Rp(x)．

定理2 设R是U上任意一个二元关系，则下近似和上近似满足下列对偶性质:

证明 (i)由于所以，同理可证

(ii)显然;

(iii)，同理可证

(iv)由于且，所以同理可证

(v)由性质(iii)知，，所以)，同理可证

下面举例说明定理2 中的(v)一般情况下等式不成立．

例1 设U={a，b，c}，R={(a，a)，(a，b)，(b，b)，(b，a)，(b，c)}，取X={a}，Y={b，c}，则，但是，即

又若取X={a，c}，Y={b，c}，则，而c}={b}，所以

定理3 设R是U上任意一个二元关系，则以下各式等价:

(i)R是串行的;

(iii)

证明 “(i)⇒(ii)”对于，由定义有，由R是串行的可知，Rp(x)≠∅，因此Rp(x)∩

“(iii)⇒(i)”设，则由z∈Rp(y)和引理1 得，结合得，这说明，从而由上近似的定义得，由(iii)成立推得，于是由上近似的定义有z∈Rp(x)，这样我们从y∈Rp(x)和z∈Rp(y)得到z∈Rp(x)，即R是传递的．

本文将等价关系推广到任意的二元关系，得到广义近似空间，定义了广义近似空间的下近似和上近似，并讨论了串行的、自反的、对称的和传递的等特殊的二元关系与近似算子的特性刻画，找到了二者之间性质的联系．

［1］ Pawlak Z．Rough sets［J］．International Journal of Computer and Information Science，1982，11:341－356．

［2］ 滕书华，鲁敏，杨阿锋，等．基于一般二元关系的粗糙集加权不确定性度量［J］．计算机学报，2014，37(3):649－665．

［3］ 顾力平，杨习贝．基于一般二元关系的多粒度粗糙集模型［J］．南京航空航天大学学报，2013，45(1):124－129．

［4］ 陶午沙，滕书华，孙即祥，等．基于一般二元关系不确定性度量方法研究［J］．国防科技大学学报，2011，33(2):63－67．

［5］ 黄兵，周献中，史迎春．基于一般二元关系的知识粗糙熵与粗集粗糙熵［J］． 系统工程理论与实践，2004(1):93－96．

［6］ 张文修，吴伟志．粗糙集理论与方法［M］．北京:科学出版社，2001．

［7］ 刘清．Rough 集及Rough 推理［M］．北京:科学出版社，2001．