华志强，张春生

( 内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽028000)

大偏差理论是随机过程中的一个重要组成部分，近年来它在保险精算，计算机，物理等领域得到快速的发展．长尾分布族［1］是重尾分布族［1］的子族之一，重尾分布族是研究极端事件的重要分布族，而大偏差理论是研究重尾分布族的有力理论工具．本文主要研究了长尾分布族上的随机变量序列的随机加权的和的精确大偏差．设为一负相依的［2］、取值非负的同分布的随机变量序列，其共同分布为记为X的尾分布函数．{Xk，k≥1}在保险精算风险模型中常用来表示索赔额过程．常令是一个取值为非负的整数值的计数过程，它表示的是到时刻t为止发生的索赔次数，且与相互独立，记EN(t)=λ(t)，当t→∞时有λ(t)→∞． {θk，k≥1}是一个随机权重序列，且满足存在两个正数b≥a＞0 使得P(a≤θk≤b)=1．因此，记表示加权的非随机和表示加权的随机和．文献［3］研究了长尾分布族上的独立同分布的随机变量的和的非加权形式的精确大偏差;文献［4］研究了长尾分布族上的负相依同分布的随机变量的和的非加权形式的精确大偏差;文献［1］研究了长尾分布族上的宽相依同分布的随机变量的和的非加权形式的精确大偏差;文献［5］研究了一致变化分布族上的负相依同分布的随机变量的和的加权形式的精确大偏差．其中长尾分布族包含一致变化分布族，详见文献［6］．本文在此基础上讨论了长尾分布族上负相依同分布的加权的非随机和加权的随机和的精确大偏差，从而对文献［4］和文献［5］的相应结论进行了推广．

1 预备知识

定义1［1］称某一非负随机变量X或者其分布F(x)为重尾的，如果不存在指数矩，即对任意t＞0，EetX不存在．

定义2［1］称非负分布F(x)属于长尾分布族的，如果对一切y＞0 成立(或等价地，对y=1成立)．

定义3［2］定义1［1］称随机变量序列Xk，k≥1

{ }

1)下负相依，如果对于任意的n=1，2，…及任意的n个实数x1，x2，…，xn，有:

2)下负相依，如果对于任意的n=1，2，…及任意的n个实数x1，x2，…，xn，有:

3)负相依，如果对任意的n=1，2，…及任意的n个实数x1，x2，…，xn，式(1)和式(2)同时成立．

性质1［5］设{Xk，k≥1}是一个随机变量序列，{gk(·)，k≥1}是实值函数序列，

1)当{Xk，k≥1}是 一 个延 拓负 相依 的 随 机 变量 序列，{gk(·)，k≥1}是 单调 函数 序列，则{gk(·)，k≥1}也是一个延拓负相依的随机变量序列;

2)当{Xk，k≥1}是一个非负的、延拓负相依的随机变量序列，对于每一个正整数n，有:

2 加权的非随机和的精确大偏差

证明 根据定理的条件及文献［2］的定理2 知，X1θ1的分布仍属于长尾分布族的，且{Xkθk，k≥1}还是一个非负的负相依的随机变量序列．

整理可得:

由于E(X1θ1)存在，所以当n→∞时，对x≥γn一致地有nP(X1θ1＞x)→0，代入上式，故定理1 得证．

3 加权的随机和的精确大偏差

当t→∞时，可以得到如下的渐近关系:

又由定理1 可得:

从上式可导出:

故定理2 结论成立．

［1］ 华志强，杨少华，石新勇．宽上限相依的随机变量和的精确大偏差［J］．应用泛函分析学报，2013，15(4):345－348．

［2］ Cline D B H，Samorodnitsky G．Subexponentiality of the product of independent random variables［J］．Stochastic Processes and their Applications，1994，49:75－98．

［3］ Konstantinides D，Loukissas F．Precise large deviations for long－tailed distributions［J］．Journal of Theoretical Probability，2012，25:913－924．

［4］ Konstantinides D，Loukissas F．Precise large deviations for sums of negatively dependent random variables with commom long－tailed distributions［J］．Statistics Theory and Methods，2011，40:3663－3671．

［5］ 沈新美．重尾场合下相依风险模型的尾概率问题［D］．杭州:浙江大学，2009．

［6］ 华志强．多元重尾大偏差及位相型破产概率［M］．哈尔滨:地图出版社，2013．