李 勇，宋晓霞

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

点对点和叠加高斯码的高斯干扰信道容量比较

李 勇，宋晓霞

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

为了研究实际通信中存在干扰情况下如何选择合适的编码方案，针对两用户高斯干扰信道，比较了分别使用点对点高斯码和叠加高斯码时的最佳可达速率区域与和速率。结果表明：某用户要以最大用户速率，或者在强干扰或弱干扰下系统以最佳吞吐量通信，应使用点对点高斯码；在中等干扰情况下，信噪比越大，适合点对点高斯码的信道系数范围越大，信噪比越小，适合叠加高斯码的信道系数范围越大。

干扰信道；高斯干扰信道；容量区域；内界；和速率

当多对用户共享无线通信资源进行通信时，每对用户的通信将不可避免地受到其他用户对的通信干扰。Shannon早在1961年首先把这种情况建模成干扰信道来研究其通信性能限[1]。相对于离散无记忆干扰信道，高斯干扰信道指导意义更大，因此得到了更广泛的关注，其容量限及最佳传输策略也成为研究的焦点。然而，除了一些特殊情况外，一般的两用户高斯干扰信道的容量及对应的最佳传输策略至今仍没有确定。已有研究指出，采用点对点码或叠加编码方案，可以获得强干扰条件下高斯干扰信道的容量区域[2-4]；弱干扰情况下高斯干扰信道的和容量[5-7]；单边高斯干扰信道、混合高斯干扰信道的和容量[6,8-9]。其中，点对点码是指，为一对通信用户在AWGN无线信道所设计的信道码，接收机要么采用把干扰当噪声要么采用逐次干扰消除译码译出干扰的码字；叠加编码是一种多用户码，最早由Cover提出，由Carleial首次应用到高斯干扰信道中[10]，要求用户在发送端采用多个点对点码叠加起来，接收机采用同时联合译码。1981年，文献[3]在发送端采用叠加编码，在接收端采用同时联合译码，获得了迄今为止最佳内界，通常称作HK内界。其叠加编码的叠加双方没有主次之分，且以一种确定方式叠加在一起，在接受端要求同时联合译码。文献[11]中采用了另外一种形式的叠加编码获得了HK界的一种等价简化描述，通常称作CMG界。该叠加编码实际上是顺序叠加编码，叠加双方有主次之分，叠加的一方作为云团中心，叠加的另一方作为卫星码字；译码时要先译云团中心，再译卫星码字。相对于HK内界，CMG界虽然在不等式数量和随机变量的基数两方面都进行了化简，但是计算仍旧复杂。为了简化计算和适应工程需要，文献[12]指出在高信噪比条件下，对称高斯干扰信道采用简单的HK策略所能达到的对称速率区域与信道容量最多相差1 bit。最近，向量和MIMO干扰信道的研究再次引发了干扰信道的研究热情[13-16]。

综上所述，对于两用户高斯干扰信道，尽管采用叠加编码可获得目前最佳界，但是所有已知的容量结果也可采用点对点码获得。叠加编码传输方案实现复杂，且还没有进入实用阶段，更不要说推广到多用户干扰信道。而点对点码传输策略目前已实用化多年、技术成熟，且更易于向多用户干扰信道推广。因此，为了以较小代价达到通信性能要求，需要在性能和实现代价方面进行折中来考虑编码方案。然而，现有文献并没有确切给出点对点码和叠加码下的性能差距。

本文针对两用户高斯干扰信道，从理论和数值结果两个方面比较了点对点和叠加高斯码下可达速率区域及和速率的差距，分析了叠加码有和速率增益的信道参数关系。比较结果为实际通信中采用点对点还是叠加高斯码提供理论依据。

1 信道模型与定义

一个K用户的高斯干扰信道模型如图1所示,hn,m表示从用户n发射端到用户m接收端的信道系数。其矩阵表示如下：

为便于比较分别采用点对点高斯码和叠加高斯码下的高斯干扰信道容量限的性能，本文讨论K=2时的情况，即两用户高斯干扰信道。标准化后，直接链路的信道系数为1，即h11=h22=1。为便于后面的表达和计算，将交叉链路的信道系数h12记作

图1 K用户高斯干扰信道模型

2 点对点和叠加高斯码下的界

下面分别介绍分别使用点对点高斯码和叠加高斯码时，两用户高斯干扰信道的现有内界。

2.1 点对点高斯码下的内界

当限定发送端采用点对点高斯码时，根据高斯干扰信道各种内界所采用的干扰管理策略，可以把各种内界分成以下四类。

第一类是避免干扰内界，有TDM∕FDM内界[10]，在中等干扰信道下其和速率是目前已知点对点码单一策略界中最佳的。系统在传输时，把可用的总带宽或时间段划分成两个子带或时隙，各用户独占相应的子带或时隙进行通信，彼此之间无任何干扰，因此信道干扰的强弱不会影响该传输策略的性能，因而它是一种能避免干扰的传输策略。

第二类是忽略干扰内界，有把干扰当噪声(treat⁃ing the interference as noise,TIN)界，它基于干扰是有害的观点，是一种忽略干扰结构的干扰管理策略，在干扰较弱情况下取得较好的容量限，并且能够在弱干扰情况下达到两用户高斯干扰信道的和速率容量[5-7]，但是在干扰越来越强的情况下，其性能则会越来越差。

第三类是利用干扰内界，这类界认为干扰是由于无线通信的广播特性叠加到接收端的其他用户信号，因而干扰不同于噪声，是有结构的，且是可以利用的。因此通过译出干扰一般可以提高用户自己的速率。根据接收端是否唯一正确地译出干扰，可以分为正确地译出干扰(decoding the interfer⁃ence correctly,DIC)内界和不可靠译出干扰内界，也称作同时联合译码(simultaneous jointly decoding,SJD)内界[17]。DIC界根据译出干扰的方式又分成SIC界和联合译码(jointly decoding,JD)界。这类界在极强和强干扰情况下能达到两用户高斯干扰信道的容量[2-4]，在弱干扰情况下，SJD界与DIC内界相比有了明显的提高[17]。

第四类是混合策略界，即将上述各策略部分或全部组合使用得到的界。这类界主要有Sason内界[18]，BGT 界[19]，LSB界[20]。

LSB界是通过组合时间共享随机变量，TIN和SJD技术获得的。而使用时间共享随机变量获得的界通常要优于改进的TDM∕FDM技术[17]，而SJD界优于DIC界。实际上，该内界组合了目前点对点码下所有最优策略，因此是使用点对点码情况下目前最好的高斯干扰信道内界[20]。

若不考虑时间共享随机变量，LSB内界可表示如下。

2.2 叠加高斯码内界

叠加高斯码下的两用户高斯干扰信道的界主要有Carleial界[10]，HK界，CMG界，以及由HK衍生出来的便于计算的Sason界[18]等。为了公平地与点对点高斯码下的高斯干扰信道界比较，采用文献[11]中给出的CMG内界并且不考虑时间共享随机变量，表达如下：

3 点对点和叠加高斯码内界比较

本节主要分析与比较在不使用改进的TDM∕FDM，时间共享随机变量等技术情况下，采用点对点高斯码和叠加高斯码时两用户高斯干扰信道的容量限差距。因此只需要把已知的点对点码最佳内界LSB内界与叠加码最佳内界CMG内界进行比较即可。

3.1 主要结论

由点对点和叠加高斯码下的内界表达式可得到以下结论。

定理1采用点对点和叠加高斯码两种情况下，无论信道干扰强度如何，都有相同的最大单个速率，即

定理2对于两用户高斯强干扰信道，采用点对点和叠加高斯码两种情况，有相同的可达速率区域，即

证明：对于两用户高斯强干扰信道，最佳可达策略是完全译出干扰，即要求和 w2=w1=1，对于LSB内界，把它们代入不等式(3)～(6)相应地得到不等式(16)～(18)。对于CMG内界，，w2=w1=1 时，代入(7)和(8)得(16)和(17)，代入(9)和(10)得(18)，代入(11)得

因为在强干扰时，即 a21≥1和 a12≥1，因此(19)冗余，即(11)冗余。根据，w2=w1=1 ，a21≥1和 a12≥1，(12)大于(7)与(9)的和，(13)大于(8)与(10)的和，因此(12)和(13)也冗余。所以，CMG内界也转化为(16)到(18)。即两种码有相同的可达速率区域。

定理3对于两用户高斯弱干扰信道，采用点对点和叠加高斯码两种情况，有相同的和速率，即

证明：对于两用户高斯弱干扰信道，采用TIN策 略可以达到和容量 ，即要求和w2=w1=0，对于LSB内界，把它们代入不等式(3)～(6)相应地得到不等式(20)。对于CMG内界，和 w2=w1=0 并满足弱干扰条件时，把它们代入不等式(7)～(13)相应地也得到不等式(20)。此时，两种码有相同的和速率。

根据定理1、2、3，在实际通信中若需要某个用户能以其最大单个速率通信，或者是在强干扰信道中通信，或者在弱干扰信道中以最大和速率通信时，系统只需要采用点对点高斯码，而无需采用叠加高斯码即可获得同样的通信性能。

3.2 数值结果

对于中等干扰信道，因为在求HK或CMG内界时，要遍历全部公共信息可能占有的比例，所以无法用理论推导或计算的方法直接比较两种码下的内界。本节将通过典型信道参数下两种码的内界的数值结果进行比较。

采用的对数，信道参数和发射功率约束与文献[3]中相同。图2中，由坐标原点和X，A，D，Y点围成的区域是点对点高斯码的可达速率区域；而由坐标原点和X，A，B，C，D，Y点围成的区域是叠加高斯码的可达速率区域。从图2可以看出，叠加高斯码内界要比点对点高斯码的内界大。

图2 P1=P2=6，a12=a21=0.55速率区域

接着比较在弱和中等干扰情况下二者的和速率。从图3中可得到，随着信噪比增加，叠加高斯码和速率优于点对点高斯码和速率时的信道系数范围变窄，两种码的和速率的最大差距变大。例如，当信噪比为30 dB时，叠加高斯码和速率优于点对点高斯码和速率的信道系数范围只有0.032～0.27，而在其它信道系数范围内，点对点高斯码和速率同叠加高斯码和速率相同，即此时选用点对点高斯码作为信道码更有利，叠加高斯码与点对点高斯码和速率最大差距为0.74 bit；当信噪比为10 dB时，叠加高斯码和速率优于点对点高斯码和速率的信道系数范围扩大到0.27～0.912，而在其它较小的信道系数范围内，点对点高斯码和速率同叠加高斯码和速率相同，即此时选用叠加高斯码作为信道码更有利。

图3 P1=P2=1000,100,51,10和速率

由以上比较可知，叠加高斯码内界优于点对点高斯码内界。但是，在很多特殊信道参数情况下，两种码内界相同，或者差距很小，在这种情况下考虑叠加高斯码实现的复杂度，可考虑采用点对点高斯码作为信道码。

4 结束语

本文针对两用户高斯干扰信道，在不考虑时间共享变量情况下，比较了目前点对点和叠加高斯码下最佳内界与和速率。结果显示，两种码有相同的最大单个速率；在强干扰时，两种码的内界相同；在弱干扰时，两种码的和速率相同。随着信噪比的增加，叠加高斯码的和速率优于点对点高斯码和速率的信道系数范围变窄，叠加高斯码与点对点高斯码和速率的最大差距变大。这为实际通信中选用信道码提供了选择依据。

[1]Shannon C E.Two-way communication channels[C].In Proc.4th Berkeley Symp.Mathematical and Statistical Probability,Berke⁃ley,CA,1961,1:611-644.

[2]Carleial A B.A case where interference does not reduce capacity[J].IEEE Trans Inf Theory,1975,21(5):569-570.

[3]Han T,Kobayashi K.A new achievable rate region for the interference channel[J].IEEE Trans Inf Theory,1981,27(1):49-60.

[4]Sato H.The capacity of the Gaussian interference channel under strong interference[J].IEEE Trans Inf Theory,1978,27(6):786-788.

[5]Shang X,Kramer G,Chen B.A new outer bound and the noisy-interference sum-rate capacity for Gaussian interference channels[J].IEEE Trans Inf Theory,2009,55(2):689-699.

[6]Motahari A S,Khandani A K.Capacity bounds for the Gaussian interference channel[J].IEEE Trans Inf Theory,2009,55(2):620-643.

[7]Annapureddy V S,Veeravalli V V.Gaussian interference networks:sum capacity in the low-interference regime and new outer bounds on the capacity region[J].IEEE Trans Inf Theory,2009,55(7):620-643.

[8]Sason I.On achievable rate regions for the Gaussian interference channel[J].IEEE Trans Inform Theory,2004,50(6):1345-1356.

[9]Tuninetti D,Weng Y.On gaussian mixed interference channels[J].in IEEE International Symposium Information Theory,2008,(7)：3-5.

[10]Carleial A B.Interference channels[J].IEEE Trans Inf Theory,1978,24(1):60-70.

[11]Chong H F,Motani M,Garg H K.On the Han-Kobayashi region for the interference channel[J].IEEE Trans Inf Theory,2008,54(7):3188-3195.

[12]Etkin R,Tse D,Wang H.Gaussian interference channel capacity to within one bit[J].IEEE Trans Inf Theory,2008,54(12):5534-5562.

[13]Shang X,Poor H.Noisy-interference sum-rate capacity for vector Gaussian interference channels[J].IEEE Trans Inform Theory,2013,59(1):132-153.

[14]Mohapatra P,Murthy C.Outer bounds on the sum rate of the K-user MIMO Gaussian interference channel[J].IEEE Trans Inform Theory,2013,61(1):176-186.

[15]Karmakar S,Varanasi M.The capacity region of the MIMO interference channel and its reciprocity to within a constant gap[J].IEEE Trans Inform Theory,2013,59(8):4781-4797.

[16]Krishnamachari R,Valanasi M.Interference alignment under limited feedback for MIMO interference channels[J].IEEE Trans Sig⁃nal Processing,2013,61(15):3908-3917.

[17]Gamal A,Kim Y.Network Information Theory[M].Cambs:Cambridge University Press,2011.

[18]Sason I.On achievable rate regions for the Gaussian interference channels[J].IEEE Trans Inform Theory,2004,50(6):1345-1356.

[19]Baccelli F,Gamal A,Tse D.Interference Networks with Point-to-Point Codes[J].IEEE Trans Inf Theory,2011,57(5):2582-2596.

[20]Li Yong,Song Xiao-xia,Bai Bao-ming.A rate region for the interference channel with point-to-point codes[J].International Jour⁃nal of Applied Mathematics and Statistics,2013,51(24):556-565.

On the Capacity Bounds of Gaussian Interference Channels with Point-to-Point and Superposition Gaussian Codes

LI Yong,SONG Xiao-xia
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,the inner bounds and sum rates for the two-user Gaussian interference channel using point-to-point Gaussian codes and superposition Gaussian codes respectively were compared to study how to select the appropriate encoding scheme in a real communication system with interference.Results show that point-to-point Gaussian codes should be adopted when any user communicates at its maximum rate or the system works at its maximum sum rate under strong or weak interference.Under moderate in⁃terference,the range of channel coefficients appropriate for point-to-point Gaussian codes is larger when the signal-to-noise ratio is higher.At the same time,the range of channel coefficients appropriate for superposition Gaussian codes is larger when the signal-tonoise ratio is lower.

interference channel;Gaussian interference channel;capacity region;inner bound;sum rate

TN911.2

A

1674-0874(2015)05-0020-04

2015-06-15

山西大同大学博士科研启动项目[2013-B-17]；山西大同大学教学改革项目[XJG2014202]

李勇(1974-)，男，辽宁大连人，博士，副教授，研究方向:网络信息论及应用，无线传感器网络。

〔责任编辑 高彩云〕