师海燕，魏 淳，卢永红

（1.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009；2.山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同037008）

工作休假和忙期可转化的M/M/1排队

师海燕1，魏 淳2，卢永红1

（1.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009；2.山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同037008）

研究了工作休假和忙期可转化的M∕M∕1排队。系统启动后服务台为顾客进行服务，直到系统变空，进入一个空闲期。在空闲期没有顾客到的话，服务台开始一个工作休假。工作休假并不是完全停止服务，而是低速率为顾客服务。在这个排队中，工作休假可以暂停，进入忙期。用随机模型的矩阵几何解，得到稳定状态下平均顾客数的分布及其概率生成函数。此外，也获得顾客数和顾客在系统中等待时间的随机分解以及多余顾客数的分布和额外等的时间的LST。

工作休假;忙期;M∕M∕1;矩阵几何解;随机分解

1909年，丹麦工程师Erlang为了提高电话通讯服务的效率，深入研究了电话系统的排队问题，自此开创了排队论。1951年，排队论形成了以随机服务系统为理论基础的一门新学科。最初的研究集中于连续时间排队论，1958年Meisling首次研究了离散时间排队论，离散时间排队论更适合于计算机系统建模，引起了大批排队论和通信工程专家的专注，并产生了大量理论和应用方面的成果。近十几年，Servi和Finn在文献[1]中引入了工作休假策略：服务台以较低速率为顾客服务。这种策略的引入，对排队论的研究具有划时代意义。接着，Li Jihong，Tian Naishuo在文献[2]中首次研究了休假可中止的M∕M∕1工作休假排队。Li Jihong,Tian Naishuo等在文献[2]的基础上将休假可中止推广到GI∕M∕1[3]，朱翼隽和石秀闯在文献[4]中讨论了M∕G∕1的休假中止排队。文献[5]研究了带启动期和休假可中止的Geom∕Geom∕1排队。

1 模型描述

工作假期和忙期可转化的M∕M∕1排队,其模型描述如下:

顾客到达的时间差，忙期的服务时间，空闲时间，工作休假的服务时间，工作休假时长之间相互独立，且各自服从参数为 λ,μb,α0,μv,θ的指数分布。

系统启动后对顾客以速率μb进行服务，当服务完成后发现系统变空，进入一个准备休假期。准备休假期没有顾客来，服务台开始工作休假，工作休假可中止[6]，进入忙期。这种策略的引入，大大提高了数据传输，银行排队，交通系统，生产管理等这类系统的灵活性，从而为节约资源，降低成本，挽留不耐烦顾客等方面的优化提供理论依据。

服务规则采取先来先服务，没有优先权。Q(t)为t时刻系统中的顾客数，J(t)为t时刻系统的状态。定义

(Q(t),J(t)),t≥0}是一个拟生灭过程，状态空间为Ω={(k,j),k≥0,j=0,1}。其中(0,1)是延迟休假期。按字典序排列，无穷小生成元为：

接下来计算率矩阵R。

定理1如果c＜1，矩阵方程

有最小非负解

解得a,b,c。

证明由矩阵几何解方法[7]，正常返的充分必要条件是SP(R)＜1，而SP(R)＜1的充分必要条件是c＜1，且(π0,π1)B[R]=0 有正解，其中

是随机阵，因此方程必有正解。

2 顾客数及随机分解

定理3(Q,J)正常返的条件下，它的联合概率分布为

由归一化方程π0e+π1(I-R)-1e=1可得K。

由(3)得稳态下的状态概率为：

稳态下顾客数Q的分布为：

其中

由定理4，容易得

3 等待时间及随机分解

定理5在系统正常返且 μb＞μv的条件下，W能分解成W=W0+Wd，其中W0是普通M∕M∕1排队中顾客在系统中等的时间，服从参数为μb-λ的指数分布；Wd是由工作休假且休假中止导致顾客额外等的时间，其LST为：

由定理5,可知

[1]SERVI L D,FINN S G.M∕M∕1 queue with working vacations(M∕M∕1∕WV)[J].Perform Evaluation,2002（50）:41-52.

[2]LI Jihong，TIAN Naishuo.The M∕M∕1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[J].Systems Science and Systems Engineering,2007,16(1):121－127.

[3]LI Jihong,TIAN Naishuo，MA Zhanyou.Performance Analysis of GI∕M∕1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[J].Applied Mathematical Modeling，2008，32(12):2715－2730.

[4]朱翼隽,石秀闯.M∕G∕1工作休假和休假中止排队[J].运筹与管理，2008，17(4):67-71.

[5]潘小春,朱翼隽.带启动期的Geom∕Geom∕1可中止工作休假排队[J].河南科技大学学报，2011，32(2):63－67.

[6]田乃硕,徐秀丽,马占友.离散时间排队论[M].北京:科学出版社,2008.

[7]NETUS M.Matrix-geometric solution stochastic models[M].Baltimore:Johns Hopkins University Press,1981.

Key wods:working vacation;busy period;M∕M∕1;matrix-geometric solution;stochastic decomposition.

Working Vacation and Busy Period Can beTransferred in M/M/1 Queue

SHI Hai-yan1，WEI Chun2，LU Yong-hong3
（1.School of Mathematics and Computer Science，Datong Shanxi,037009;Datong Shanxi 037009;3.School of Physics and Electronic Science,Shanxi University,Datong Shanxi,037009）

In the paper,working vacation and busy period can be transferred in M∕M∕1 queue.When the system starts up,the desk begins to provide customs with service until the system is empty,coming to an delay period.In this period,if there are no customs,the desk starts a working vacation.It is no a complete stop of service,but service at a lower rate.In this model,the working vacation can be suspended.Using random matrix geometric solution of the model,it gets the distribution of the number of customers in steadystate and its probability generating function.In addition,it obtains the number of customers and waiting time of stochastic decomposi⁃tion and distribution of additional numbers and the LST of additional delay.

O226

A

1674-0874(2015)05-0013-03

2014-08-16

国家自然科学基金项目[11301312]

师海燕(1982-)，女，山西吕梁人，硕士，助教，研究方向:排队论。

〔责任编辑 高海〕