程 谦

（南京铁道职业技术学院 运输管理学院，江苏 南京 210031）

双层规划模型在沪宁城际铁路客票价格优化中的应用

程 谦

（南京铁道职业技术学院 运输管理学院，江苏 南京 210031）

以沪宁城际铁路7个OD（origin-destination）对为问题研究和分析的对象，对不同时段各次列车上座率的历史数据进行了统计分析。根据收益管理差别定价的基本思想，构建了双层规划模型，定量分析了在基于收益最大化的情况下合理分配客流的差别定价方法，并在给定条件下进行了计算，结果表明在收益增加的情况下可以有效均衡客流。

城际铁路；客票定价；双层规划；差别定价；收益管理

1　概述

2010-07沪宁城际铁路开通运营。目前，该线路日均开行动车组列车120对。每列动车组（重联编组）可售席位1 218张。沪宁城际本线动车组单向输送能力为日均近15万人。沪宁区段（南京站—上海站）每天从6∶00到23∶00共开行动车组30对，列车最小间隔时间为5 min。

动车组已成为沪宁城际间的主要交通工具。从收益角度看，沪宁城际线路已成为铁路总公司高速动车开行较好的地区。但是对沪宁城际动车组日均上座率历史数据进行分析发现，沪宁城际已开行动车组的日上座率差异很大，如图1所示。上座率最高与最低相差90%左右。这一情况与动车的开行时刻、客流需求、票价体系、售票组织、停靠站等多种因素有关。根据经济学原理，在假定其他条件不变的情况下，影响动车上座率的主要原因是动车的票价体系。构建有效的客票价格优化模型能够针对客流变化定量分析。对于上座率较低的动车组实行折扣票价，可以吸引客流，削峰填谷，均衡客流，合理运输；同时也为合理定价提高上座率提供理论依据。

图1　日均上座率分析图（2012-12～2013-05）

2　双层规划模型

现实中很多决策问题是由多个具有层次性的决策者组成，这些决策者具有相对的独立性，某一层次的决策者只是通过自己的决策而产生的行为去影响下（从属）层次的决策者，不直接干涉下层次决策者的决策，而下层决策者只需把上层的决策作为参数或约束，决策者可以在自己的可能范围内自由决策。如果决策系统只有一个上、下层关系时，这样的决策系统通常称为双层规划问题。双层规划问题最初是由Von Stackelberg于1952年在研究市场经济问题时提出的，因此有时也称为Stackelberg问题［1］。

动车组的客票价格优化问题可以看作是一个双层规划问题，其中决策部门即铁路企业是指导者（Leader），旅客的出行行为或者交通需求为跟随者（Follower）。旅客在出行时对于出行方式的选择是完全自主的，旅客通过对现有的出行方式进行比较，然后根据自己的需要以及自己的行为习惯来选择出行方式。铁路企业可以通过票价和服务质量等方面的改变来影响旅客的选择行为，但不能控制他们的选择行为。

四兵锋等（2001）在考虑了公路、铁路、航空等多模式竞争的情况下构建了一个基于固定需求的双层规划模型来描述合理制定旅客票价问题［2］，同时也针对该模型给出了基于灵敏度分析的启发式算法［3］。

一般来说，双层规划模型具有如下形式：

其中y（x）由以下模型给出：

从上面两式可以看出，双层规划模型由两个子模型（U）和（L）构成。其中U为上层规划，L为下层规划。F为上层规划所确定的目标函数；x为上层规划的决策变量；G为对变量x的约束；f为下层所确定的目标函数；y为下层规划的决策变量；g为对变量y的约束；y（x）是反应函数。

铁路企业的决策目标是在政府规定的范围内使得铁路客运经济效益最大化，这一目标可以通过模型（U）来描述；旅客在不同动车组列车之间的选择，这是铁路客流在不同车次之间的分配问题。在对动车的选择上，不同的旅客有不同的选择。公务旅客会更多地注重速度、方便程度，而不太注重价格。经济条件一般的旅客则会更多地注重价格，较少注重舒适度、方便性等。总之，旅客们总是力图选择在起终点间总的广义出行效用（包括出行时间、票价、方便舒适度等）最小的一趟列车，这一目标可以通过模型（L）来描述。显然，上层规划的决策变量应为客票价格，下层规划的决策变量应为不同动车的客流量。两者是相互作用、相互影响的。在其他因素不变的情况下，某时段动车实行折扣票价，那么该趟动车就会吸引其他时段动车的部分客流，使得本列动车客运需求增加；相反，如果某时段动车客票价格上升，那么相应客流量也会转移到其他时段动车上。双层规划的相互作用、相互影响的结果就是取得共同的平衡点，在不同的列车之间达到一种客流分配的稳定状态。

3　模型的建立

3.1旅客出行选择模型

1952年Wardrop首次提出交通平衡分配原则［4］。平衡分配原则可描述如下，在OD间所有可供选择的路径中，用户所使用的各条路径的出行费用全部相等，并且不大于未被使用的路径的出行费用。以上原则也称为UE（User Equilibrium）原则。

城际间动车组客流分配可以借鉴UE原则，旅客对车次的选择总是力图选择从起点到终点之间广义出行费用最低的交通方式。而出行费用是随着流量的增加而上升的。比如所有的旅客都选择某一时刻的动车，那么随着该动车流量需求的增加，它的总的出行费用就会上升，例如排队、拥挤、服务质量下降等。这样就会有一部分旅客放弃选择该次动车，而改选其他时段车次。同理，其他车次的出行费用也会随着流量需求的增加而上升。最终不同的动车之间会达到一种流量分配的稳定均衡状态。任何一种新票价体系的执行，都会导致整个网络上客流量达到一个新的平衡状态。因此，制定任何一项票价政策都要考虑旅客对票价的反应，即新的流量平衡点。

当旅客在不同车次的动车之间选择时，在一个OD对上所有可供选择的开行车次中，有旅客乘坐的各时段动车的广义出行费用全部相等，并且不大于无旅客乘坐的动车的出行费用。用数学形式描述这种用户均衡状态如下：

式中：μrs为平衡状态下OD对r - s之间的费用；为 r - s间第k次动车费用；为相应的路径交通需求。

任意OD间，多次城际动车开行条件下的客运需求分配问题可以采用以下数学规划模型来描述：

其中函数f是不同动车组的广义费用函数，自变量就是不同车次的客流量。即；约束条件表示不同动车总的客流需求是已知并且固定的，Qrs表示OD对rs间总的客流需求。作为自变量的q应满足非负约束。

很明显，该模型是一个带线性等式和非负约束的极小值问题，运用拉格朗日乘子法，可推出该问题的一阶条件。该问题的拉格朗日函数如下：

其中μrs和分别为规划（4）等式约束与非负约束的拉格朗日乘子。则该问题的一阶极小值条件为：

对以上约束条件作如下计算：

可以看出，式（7）与式（3）是等价的。广义费用函数f（x）是随着客流量的增加而递增的，因此，它对自变量的导数是非负的，模型的目标函数的Δ2z（q）（海赛矩阵）是正定的，所以该模型是一个凸规划问题，有解且唯一［5］。

3.2收益管理模型

模型（4）描述了在固定需求下客流在不同动车之间分配的问题。这是从旅客出行的角度出发的。即对于旅客来说，他（她）们总是选择广义出行费用最小的开行车次。所以模型（4）所得到的解是在客票价格、出行时间、舒适程度、运输能力等综合因素已经确定的情况下，总的需求量在不同的交通方式之间的分配，也就是确定各种交通方式的流量。在此基础上，构造一个双层规划模型来寻求最佳的城际动车组票价策略以达到期望指定的目标。

而从铁路客运管理部门的角度来看，作为运输企业，参与市场竞争的主要目的在于使其经济效益最大化［6］。假定在城际运输中，rs表示城市r到城市s间的OD对，第k（ k∈Kh次动车的票价为，则铁路客运的总收益可表示为，

同时，铁路运输具有一定的公益性，政府对铁路客票价格具有指导作用。因而rs的OD间存在着最低票价，也存在着最高票价，则客票价格的约束范围可用下式表示：

构建铁路企业收益管理模型如下：

3.3基于收益最大化的城际铁路客票价格优化模型

根据上文描述，构建如下模型表示铁路企业收益与旅客乘车选择之间的行为模式。

上层规划模型表示铁路企业在政府限定的范围内制定最优票价使得铁路客运的经济效益最大。而下层规划模型描述了在竞争条件下的铁路城际客运网络中，客流在不同车次之间的分配模式，模型的目标是乘客出行的广义费用最小。

4　模型计算

陈建华等（2005）提出应用SAB（Sensitivity Analysis Based Algorithm）算法简化反应函数以求解双层规划问题［7］。本文将沪宁城际铁路日内动车组的开行划分为3个基本时段，即时段（1）、时段（2）、时段（3）。以f 表示动车组上座率。则有：

时段（1）： f≥100%；

时段（2）：75%≤f≤100% ；

时段（3）： f≤75%

为研究方便，挑选沪宁下行区段8个车站。以南京站作为始发站包含7个OD对。只考虑固定客流情况下动车组间客流分配，背景网络属于单模式运输网络。可供选择有3个时段，不同时段旅客出行的广义费用函数采用幂函数形式：

表1　常量数据表

假定时段（2）动车组客票价格为现行基准价格。时段（1）、（3）采用动态价格，客票价格上下限已知，客运价格如表2所示。

表2　客运价格表

计算中参数值给定如下：a=2、b=0.2、α1=0.52、α2=0.48、ξ=0.01。时段（1）与时段（3）计算结果如表3、表4所示。在计算中，不同OD对间的票价初始值是以现行价格为基础给出的。应用SAB算法很难得到全局最优解，但是应用该方法计算得出的结果作为制定动车组浮动票价的依据是可行的。根据计算结果实施动态定价可以对日间客流的不均衡性起到削峰填谷的作用，同时也能够使铁路部门收益最大化。

表3　时段（1）计算结果表

最优票价如表5所示。根据表5，在研究背景网络全日开行的动车组列车中，对时段（1）范围内的动车组列车实施上浮票价政策，对时段（3）范围内的动车组列车实施下浮票价政策，通过票价引导客流变化，可以更好地均衡客流。剔除其他因素影响，在给定客流条件下，应用表5给出的动态价格方案测算，铁路部门当日总收入为1 566 308元，在固定票价条件下当日总收入1 510 770元，采用动态价格可实现增收3.6%［8］。

表4　时段（3）计算结果表

表5　最优票价表

5　结论

本文研究了双层规划模型在城际动车组客票价格优化中的应用，以沪宁城际动车组相关客流数据为研究背景对价格优化模型进行了求解。根据计算结果确定了不同时段的动态票价数据，与实际比较，售票收入有了一定的提高。

在计算过程中，相关参数的确定并没有大量客流统计数据分析作为支撑，在对折扣时段的划分中也没有与各站间旅客运输组织、列车运行计划相结合，这些问题应作为后续研究的方向。

［1］四兵锋，高自友.交通运输网络流量分析与优化建模［M］.北京：人民交通出版社.2013.

［2］四兵锋，高自友.合理制定铁路客票价格的优化模型计算法［J］. 管理科学学报 2001，4 （2）： 45-51.

［3］四兵锋，高自友. 城市间旅客列车的票价与流量的灵敏度分析［J］. 北方交通大学学报2001，25（2）：49-53.

［4］黄海军.城市交通网络平衡分析-理论与实践［M］.北京：人民交通出版社.1994.

［5］胡毓达.非线性规划［M］.北京：高等教育出版社.1990.

［6］荣朝和.西方运输经济学［M］.北京：经济科学出版社.2008.

［7］陈建华，高自友.合理制定铁路旅客票价的优化方法［J］.铁道学报，2005：16-19.

［8］王甦男，贾俊芳.旅客运输［M］.北京.中国铁道出版社.2008.

Research on Bi-level Programming Model for Ticket Price Optimization for Shanghai-Nanjing Inter-city Railway

Chen Qian
（School of Transportation and Management， Nanjing Institute of Railway Technology， Nanjing 210031， China）

This paper choose seven OD （origin-destination） form Shanghai-Nanjing inter-city railway and analyzed history data of attendance rate at different period for every train. Based on max profit， a bi-level programming model was constructed. It quantitatively analyzed the price discrimination method for rational distribution of passenger flow according to basic idea of revenue management and differential pricing. The conclusion showed that passenger flow had been balanced while profit increased.

inter-city railway；ticket pricing；bi-level programming；differential pricing；revenue management

F532.5

A

1672-9889（2015）02-0077-04

2014-08-01）

程谦（1977-），男，河南巩义人，讲师，主要从事轨道交通运输教学与科研工作。