王有茂

摘要：用解析几何方法系统研究阿波罗尼斯圆的定义和性质，结合高考试题阐述阿波罗尼斯圆的定义和性质在解高考试题中的应用.

关键词：阿波罗尼斯圆 定义 性质 应用

阿波罗尼斯圆，一直是高考的热点问题，很多同学却很难应对，实际上，它在各种版本的高中数学教材中都有体现，但往往被老师们和同学们忽视，那么阿波罗尼斯圆是如何定义的？到底有哪些性质？又如何运用呢？这里本人从解析几何的角度，将自己的一些粗浅认识与大家一起分享：

一、阿波罗尼斯圆的定义：

平面内到两定点的距离之比为定值（不为1）的点的轨迹是一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）发现，故称阿波罗尼斯圆（又把它叫做圆的第二定义）.

简单证明：

设两定点为、，，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图1所示坐标系，则，设动点到两定点的距离之比为定值，则，化简得（*）

（1）当时，，所以（*）式表示直线（是线段的垂直平分线）.

（2）当时，，且，所以（*）式表示一个圆，圆心为，半径为.

直接应用定义的高考试题很多，如：

江苏2013年，第17题：如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.

（1）（略）;（2） 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

北京2003年春季高考，第20题：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹。等等.

二、阿波罗尼斯圆的性质

性质1：阿波罗尼斯圆的圆心在直线（为定点）上，设分别为线段按定比分割的内分点和外分点，则为该……