1背景

高三复习课以解题教学为核心，在有限的45分钟课堂内高效的教学，课外精心选题很关键，高考试题往往是备课者青睐的对象，对同一个数学问题，教师若能引导学生从不同角度进行思考，克服就题论题，将其问题一般化。往往会使学生获得多种不同的解题思路和途径。这不仅对帮组学生训练基本技能、追求最优解法是十分必要的，而且对培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性、探究发现能力以及综合运用知识的能力都有着及其重要的作用。

本文笔者选择2014年湖北理科第9题作为典型例题，谈谈多元最值问题的解法。

题目  已知[F1，F2]是椭圆和双曲线的公共焦点，[P]是他们的一个公共点，且[∠F1PF2=π3]，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（  ）

A.[433]   B.[233]   C.3    D.2

2 解法探究

此题将椭圆和双曲线两种圆锥曲线相结合，以离心率和最值设问，常规中有创新，题目叙述简洁。

为了统一，我们先规定如图，由对称性不妨取点P在第一象限，设椭圆的长轴长为[2a1]，双曲线的实轴长为[2a2]，公共焦距为[2c]，[F1]，[F2]分别为左右焦点，[PF1=m]，[PF2=n]，

由椭圆和双曲线的定义可知[m+n=2a1m-n=2a2]推出

[m=a1+a22 ] ①

[n=a1-a22]  ②

又由条件及其余弦定理有[4c2=m2+n2-mn] ③

求离心率倒数之和为[a1c+a2c]=[a1+a2c]   ④

教师：如何求多元的最值呢？基本的是思路结合圆锥曲线定义及条件消元，或换元进而用函数的思想，或者利用基本不等式求最值。

学生：因为①④里面都有有[a1+a2]这个结构，联立①④消去[a1+a2]两个未知量，得到关于[m]，[n]的一个式子，减少未知量再观察。

教师：很好，这位同学观察能力很强，这样就减少了一个元，[a1+a2c=mc]但是[c]呢？……