张会玉 马岱琪 董师琪

【摘要】 日趋老龄化的人口基本国情决定了寿险产品普遍化、多样化的必然趋势，研究和推出定价合理的寿险产品具有极大的市场价值。本文结合1955—2014年的基准利率，推算出利率满足正态分布时的保险年金现值模型，再通过R软件分析验证分别得出利率在符合正态分布和ARIMA模型的条件下n年期生存年金的精算现值。在此基础上，本文依据总预测残差方差最小原则，分别对两组拟合利率赋予不同的权重，从而得出最优年金现值。本文的研究成果将对保险公司寿险产品的定价具有极大的参考价值。

【关键词】 正态分布 时间序列分析 随机利率 年金定价

一、引言

2014年6月份新“国十条”的颁布，对我国的保险改革有了明确的指导意义。保险监管部门将以市场为导向监督保险产业并且放开了对保险产品的价格管制，费率市场化必将是大势所趋。预定利率在寿险费率的厘定方面较预订死亡率及预订附加费用率起的作用最大。预订利率过高，收取保费偏少，保险公司将会面临破产风险；预订利率过低，收取保费偏多，将会降低寿险产品的吸引力。因此，预定利率的确定无疑将对寿险精算构成极大的挑战。

基准利率在整个利率体系中处于关键地位，无疑各种利率均是围绕其上下波动。各金融机构的存款利率目前可围绕基准利率上下浮10%，贷款利率可围绕基准利率上下浮20%，因此基准利率可以反映市场利率。货币市场利率以SHIBOR作为市场利率的呼声较为高昂，但是由于SHIBOR仅有七年的历史，数据偏少而且其值变化颇不稳定。鉴于此，我们选择基准利率作为市场利率的参考，本文选择1955—2014年的基准利率，展开来研究寿险产品定价。鉴于n年期寿险生存年金深得投保人青睐，本文选择n年期年初付保险年金作为主要研究对象，在年金纯保费的定价方面，旨为国内外学者提供科学的研究方法。

二、文献综述

在预测波动数据的研究方法上，国内外学者运用较多的是ARIMA模型、正态分布模型//指数平均模型、Monte Carlo模拟研究和复合泊松过程等。但是目前还未有学者将正态分布及ARIMA模型详细具体地运用到年金定价上。不同于以往学者只用一种模型预测随机利率，本文结合正态分布及ARIMA模型分别对利率呈现独立分布及非独立分布的情况进行理论推导及实证分析来研究年金定价。

在模型改进方面，对两种模型进行实际分析，吴航等人（2009）对数据拟合得到2个ARIMA模型，并加权重对两个模型进行优化。博迪《投资学》在资产定价法一章中，着重介绍了投资组合资产权重的确定方法。在模型优化过程中，本文基于依据两种模型的拟合利率的残差及残差间的相关性，对两组残差赋予不同权重，依据总预测残差方差最小原则，得出两组拟合利率所应赋予的权重及最优年金现值。首先对基准利率进行预测，得出1996—2014年的基准利率符合正态分布。在先前论文的基础上，在模型推导方面，结合个人的生存率，運用概率统计及微积分知识得出折现到购买保险年份所应缴的趸交纯保费。另外，本文克服了大部分论文纯理论或者纯应用的不足，将模型理论推导、实证检验及应用结合。

三、正态分布模型应用

1、数据来源

1955—2014年一年期基准利率来源于中国人民银行官网。当一年内多次调动利率的情况下取平均值计算。选择中国人寿保险业经验分布表（2000～2003）中的非养老金男性业务表数据计算被保险人确定年点的死亡率，生存率等。

2、正态分布模型应用过程

（1）正态分布验证。正态分布模型前提条件是利率服从正态分布。因此，我们首先要检验数据的正态性且在保证正态性的同时尽可能多的选择数据样本。夏皮罗-威尔克Shapiro-Wilk检验（W检验）通过检验数据与回归曲线的残差来检验数据是否符合正态分布。在R语言中，通过调用stats包中的shapiro.test函数可以直接预测。经过正态W检验，1996—2014年的基准利率服从正态分布。

（2）定价应用。假设被保险人为30岁男子，购买20年期寿险年金。自被保险人50岁起，保险人将于每年初向被保险人支付保险年金1000元，止于69岁年初。若被保险人在20年内死亡，保险公司将停止支付，否则保险公司需要支付年金直到期满为止。利用随机利率呈正态分布的特点计算该年金的精算现值，将参数带入模型，利用R软件计算，本文得出保险年金精算现值E（A0）=8472.98。

四、自回归求和滑动平均模型（ARIMA）分析

由于国内外书籍对ARIMA模型的理论推导已经规范化，本文此处将不对该模型的理论部分做相关论述。

1、数据描述和序列的平稳性检验

由于样本越多预测效果更佳，因此在ARIMA模型拟合过程中，我们利用全部数据进行分析。首先对利率进行自然对数变换，得到LNI，并作出时间序列变化的趋势。可以看出1955—2014年的利率变化起伏较大。数据经历了先升后降，直到平稳波动变化的趋势。对LNI进行一阶差分，一阶差分后的变量表示为DLNI，对其进行平稳性检验。在R软件上，我们需要加载fUnitRoots包才可以应用该功能。adfTest（）可以直接得出ADF值及P。通过分析结果，我们取对数后进行一阶差分后数据是稳定的。我们消去了趋势部分，剩下不规则部分。

2、模型定阶及结果展示

（1）自回归检验和偏自回归检验。我们对数据进行自回归检验和偏自回归检验，由检验结果得知自相关系数及偏自相关系数均在置信区域范围内。由时间序列特征我们可知自相关函数及偏自相关函数均属于拖尾。此处我们选择ARIMA（p，1，q）进行分析。

（2）AIC准则自助法定阶。在ARIMA（p，1，q）模型参数估计中，本文选择极大似然法估计并依据AIC值最小为原则选择出最佳的模型。根据极大似然值最大、方差估计最小、AIC值最小原则我们选择ARIMA（0，1，2）进行预测，得到模型如下：

△logIt=？着t+0.7659？着t-1+0.2341？着t-2It+1=elogIt+△lgIt

我们利用Ljung-Box检验及QQ图的形式来判断拟合的优度。Box和Pierce提出统计量Q=n（），并用该指标来检验残差是否是独立的。Ljung-Box检验则是基于该变量上的检验方法。P值越大，则说明拟合效果较佳。对残差检验得出p值为0.2543。P值大于0.1，表明没有证据证明在滞后1-20阶中预测误差是非零自相关的。为了检查预测误差是否是平均值为0且方差为常数的正态分布，我们利用QQ图来检验预测误差是否为白噪声，得到结果残差在QQ图直线附近，得出结论：预测方差为白噪声，即我们所预测的模型是有效的。

3、定价应用

由被保险人30岁，年金发放50岁时生效且保险将截止于69岁。那么，在预测保险年金现值的过程中，我们需要对未来四十年的利率进行预测。在R软件上进行程序操作，基于ARIMA（1，1，0），预测出未来40的年数据，并对数据进行未来值预测，计算出未来39年值如下：假设t+1年初收到保险年金c元。经过分析得知未来年金折现现值，且结合P0得出年金现值定价模型如下：

得出年金现值定价为：E（A0）=7301.56元

五、模型扩展与优化

基于R软件，本文依据两种不同算法，得到不同的保险现值。由于前期分别对两种模型的残差进行分析验证，得知这两种模型都较好地拟合了利率走势，所以基于两种算法的精算现值都具有合理性。

利率在两种模型的拟合下，分别得出对于历史数据的拟合残差A及B。虽然两种模型的残差都比较小，但是为了得到更为精准预测利率，我们考虑将两组历史数据的残差分别赋予不同权重，从而使总的参差方差最小。当残差方差最小时，也就意味着预测残差最小。预测残差最小的模型可以保证得到最小误差的预测利率从而进行公平定价。

正态分布过程中，预测利率利用正态分布随机数的方式得出。我们分别设预测利率呈正态分布模型及ARIMA模型情况下的残差数组r1，r2。对所得结果赋予不同权重w1，w2且w1+w2=1。设两种模型下，残差的标准差为？滓1，？滓2。为了让模型预测最为精准，我们最小化模型组合的预测方差。

六、总结及展望

本文借鉴高建伟（2006）寿险年金的定价模型，以中国1955—2014年的基准利率为参考，得出利率服从正态分布及ARIMA模型的情况下寿险年金的现值。本文在年金定价过程中基于两个模型得出不同结果。最后利用证券组合最小方差原理，賦予不同模型权重，得出较为满意的结果。但是，一方面由于基础面风险难于预测，预测利率难免存在误差；另一方面由于本文以基准利率为研究对象，但是随着时代进步，利率市场化将会更加成熟，纯保费计算中所基于的数据也会处于变化中。本文旨在提供参考的定价研究方法及模型。在现实生活中保险定价还需要考虑更多因素，并不能单纯的应用本文的定价模型。学者共同致力于保险定价的研究方案，旨在提供最为精确的寿险定价。

（注：华中师范大学大学生创新创业训练计划A类项目，项目编号A2014047。）

【参考文献】

[1] 薛毅、陈立萍：统计建模与R软件[M].北京：清华大学出版社，2007.

[2] 潘红宇：时间序列分析及应用[M].北京：机械工业出版社，2011.

[3] 滋维·博迪、亚历克斯·凯恩、艾伦J.马库斯：投资学（第九版）[M].北京：机械工业出版社，2012.

[4] Rob J Hyndman and Yeasmin Khandakar：Automatic Time Series Forecasting：The forecast Package for R[J].Journal of Statistical Software，2008，27（3）.

（责任编辑：熊亚）