李思农

摘要：凡是提到相对论，都会只使用一种特殊的相对运动：相对运动方向沿x轴。这种情况最简单，却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。

关键词：相对论 任意相对速度 洛伦兹变换

一、引言

在许多文献和参考书中，都提到了两个做相对运动的惯性系，几乎全部都选取了一个特殊的情况：相对速度v的方向与两坐标系的x轴方相同（如图1）。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处，但是在一般情况下，或者在讲到四维动量、四维力时，相对速度方向仅与x轴方向相同就显得不太够了，它展示出来的物理图像过于“特殊情况”或者不完整，容易引起很多歧义。所以，本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换（如图2），以供读者参考、使用。

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

图1 两个惯性系之间相对速度方向与x轴

方向相同，相对速度为v

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

图2 两惯性系之间的相对速度方向

是任意方向

二、相对速度

如圖2显示，相对速度方向是任意的，我们先分析一下相对速度。如图3，蓝色为相对速度矢量 。红色为坐标轴上的相对分量v1、v2、v3。我们采用逆变矢量方式：符号的指标写在上面，并不是表示次方的意思。绿色表示在 平面上的速度分量矢量和。

[y][x][v1] [] [v][v3][v2][v1][β][α]

图3 蓝色是相对速度矢量，红色是其在坐标轴上的分量，绿色是xy平面上的速度分量矢量和

很明显最终的转换公式中，这些分量全部都会出现，我们约定凡是两个相同量相乘的连续写出两次，例如：v2v2表示两个v2相乘，并不是四个v相乘，我们不再使用指数。……