吕广玉

我们知道，绝对值|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离，|a-2|的几何意义是：数轴上表示a的点到2的距离，由此可以求绝对值方面的最小值问题，所以简称双值合一。

一、探究结论

探究1求|x+4|的最小值，显然，当x=-4时，最小值为0。将探究1中的一个点改为三个点变为：

探究2求|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值。

由絕对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4、-1、2三数对应点的距离之和最小。如图：

由图形可知，-1的左边和-1的右边对应的点到-4、-1、2三数对应的点距离之和均大于2-（-4）=6，而-1对应点到-4、-1、2三数对应点距离之和均等于6。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值为6，此时，x=-1。

将探究3中的三个点改为五个点变为：探究3求|x+4|+|x+3|+|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由绝对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4、-3、-1、1、2五数对应点的距离之和最小。如图：

由图形可知，-1的左边和-1的右边对应的点到-4、-3、-1、1、2五数对应的点距离之和均大于2-（-4）{1-（-3）=10，而-1对应点到-4、-3、-1、1、2三数对应点距离之和均等于10。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值为10，此时，x=-1。

结论1：由探究1、探究2、探究3可知：在数轴上有奇数个间隔相等的点，在其上找一点x，使得这一点到这些点的距离和最小，这点就是这些点中间的那个点（这些点要由小到大排列），其最小值为最左边的点与最右边的点的距离、最左边的第二点与最右边的第二点的距离、……所有这些距离之和。将奇数个点改为偶数个点继续探究。

探究4求：|x+4|+|x-2|的最小值

由绝对值的几何意义可知：该题本质就是在数轴上求一点x，使该点到-4与2两数对应点的距离之和最小。