汪红

摘 要：以上证指数为例，利用GARCH模型对我国股票收益率波动进行研究。在建模中，主要进行了平稳性检验；参数估计和检验；ARCH效应检验并拟合GARCH模型。结果证实了股票收益率的波动存在ARCH效应，且GARCH模型能较好的拟合股票收益率序列数据。

关键词：GARCH模型；ADF检验；参数估计；ARCH效应检验

1.引言

我们经常可以看到时间序列具有如下特征：在确定性非平稳因素的影响被消除之后，残差序列的波动在大部分时段是平稳的，但在有些时段的波动会非常剧烈，也会在有些时段的波动持续偏小，呈现“集群效应”。这时引入条件异方差ARCH模型。

在实践中，如果用ARCH模型拟合会产生很高的移动平均阶数，增加参数估计的难度并影响拟合精度。为解决这一难题，Bollerslov在1985年提出了广义自回归条件异方差模型，即GARCH模型。本文重点介绍GARCH模型的建模过程，最后以上证指数为例进行实证分析。

2.GARCH（1，1）模型

由于本文将会使用GARCH（1，1）模型进行股票收益率序列的波动研究，GARCH（1，1）模型中的p和q均为1，表示其自回归项（GARCH项）的阶数为1阶和残差平方项（ARCH项）滞后1阶。标准的GARCH（1，1）模型结构如下：yt=φxt+εtσ2t=α0+α1ε2t-1+β1σ2t-1式中，xt是1×（k+1）维外生变量向量，φ是（k+1）×1维系数变量，k=1，2，…，T。

3.股市收益率的波动性研究（以上证指数为例）

3.1平稳性检验（ADF检验）

图1 rh序列的ADF检验图

由图1可知r t的ADF值为-27.61241，明显小于各个不同显著性水平下的临界值，可以判定该序列为平稳序列。在显著性水平为1%的水平下，收益率r t拒绝随机游走的假设，说明该序列为平稳时间序列。

3.2 相关性分析及均值方程的定阶、参数估计及检验

图2 均值方程的参数估计及检验

观察收益率r t的自相关系数和偏自相关系数，我们发现收益率r t都与其滞后3阶存在显著的自相关，因此对收益率r t的均值方程如下形式：rt=0.041rt-3+εt

3.3 异方差性检验（ARCH-LM检验）

图3 LM检验图

从图3可以看出，在ARCH-LM检验结果中显示各统计量的P值都小于0.05，因此拒绝原假设，即残差平方序列具有自相关性。根据参数的t检验，对于ARCH（q）模型中，只要有一个参数通过了t检验，就意味着残差平方具有自相关性。我们选择1阶滞后，其P值小于0.05，因此可以说残差的平方序列存在自相关性，即残差序列方差非齐性，具有异方差性。所以，可以在均值方程的基础上建立GARCH模型。

3.4 GARCH类建模GARCH（1，1）

r t 的GARCH（1，1）模型估计结果

图4 GARCH（1，1）参数估计及检验

得到均值方程和条件方差方程如下：

rt=0.0413rt-3+εtσ2t=5.71×10-6+0.0841ε2t-1+0.8938σ2t-1

在条件方差方程中ARCH项和GARCH项都高度显著，表明收益率序列r t具有显著的波动集簇性。ARCH项系数（0.0841）大于0，表示外部的冲击会加剧系统的波动性；GARCH项系数（0.8938），反映了系统的长记忆性；ARCH项和GARCH项系数之和为0.98，小于1，可以说明GARCH（1，1）过程是平稳的，并且过去的波动对未来的影响是逐渐衰减的。

3.5 对GARCH（1，1）模型进行ARCH-LM检验

图5 拟合模型后的LM检验

从图5可以看出，在ARCH-LM检验结果中显示各统计量的P值都大于0.05，因此不能拒绝原假设，即残差平方序列不具有自相关性，经过拟合GARCH（1，1）模型后，残差序列的条件异方差性已被消除。因此可以说明建立的GARCH（1，1）模型是有效的。

4.结论

通过分析上证指数收益率的统计特征，拟合一个较好的模型：GARCH模型，来更好地描述收益率序列。通过分析，基本可以得出了以下结论：

（1）上证指数的收益率r t具有尖峰厚尾的统计特征，序列波动剧烈，存在明显的ARCH效应，具有显著的波动集簇性且GARCH（1，1）具有较好的拟合效果。

（2）GARCH方程中α1+β1接近于1，表明条件方差函数具有单位根和单整性，也就是说条件方差波动具有持续记忆性，说明收益率波动的持续性较强。

（3）GARCH方程中α1+β1<1，说明收益率条件方差序列是平稳的，模型具有可預测性。（作者单位：西安财经学院）

参考文献：

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