郭亚晓，杨将

(西北大学数学学院，陕西 西安　710127)

E.Ghys猜想的注记

郭亚晓，杨将

(西北大学数学学院，陕西 西安710127)

通过类比自治动力系统中拓扑熵指数收敛的定义，给出了非自治拓扑熵指数收敛的定义及非自治Lipschitz系统中E.Ghys猜想成立的充分条件与必要条件，推广了自治动力系统中的相关结论.

非自治动力系统；拓扑熵；熵维数；Lipschitz系统.

1　引言

1965年，文献[1]定义了紧致拓扑空间上的连续自映射拓扑熵，它是一个测量系统复杂程度的不变量.1971年，文献[2]引入生成集和分离集的概念，对紧度量空间上的连续自映射定义了等价的拓扑熵，使人们对这一概念有了更直观清晰的认识.

对于有限维紧无边黎曼流形M，若f：M→M 是C1映射，Kushnirenko定理[3]给出了拓扑熵的上界

对于更一般的 Lipschitz系统，则 htop(f)≤dimEX·lnL(f)，其中 (X，d)是紧度量空间，f：X→X是Lipschitz映射，dimEX是熵维数，L(f)是映射f的Lipschitz常数.

对于给定的动力系统(X，f)，由于拓扑熵与度量无关，故

其中D是诱导相同拓扑的度量的集合，Ld(f)为相对于度量d的Lipschitz常数.

不等式(1)给出了拓扑熵、熵维数及Lipschitz常数三者的关系.之后，E.Ghys给出E.Ghys猜想，将不等式(1)变为等式

2009年，文献[4]给出了等式(2)成立的充要条件为拓扑熵指数收敛.

本文所做的工作是在文献[4]的研究基础上引入非自治拓扑熵指数收敛的概念，并且给出非自治Lipschitz系统中E.Ghys猜想成立的一个充分条件和一个必要条件.

2　预备知识

定义 2.1设(X，f1，∞)为非自治紧动力系统，若任意fi都是Lipschitz映射，则(X，f1，∞)为非自治Lipschitz动力系统.

记Sd(r)为半径为r的开球所形成X覆盖的最小基数.

定义 2.2[6]设(X，d)为紧度量空间，其……