李腾龙，王祥，黄晴

(西北大学数学学院，陕西 西安　710127)

一个修正Novikov方程弱解的全局存在性

李腾龙，王祥，黄晴

(西北大学数学学院，陕西 西安710127)

主要研究了一个修正的Novikov方程，并给出了当初值u0(x)满足一定条件时，方程弱解的全局存在性，推广了Novikov方程的相关结果.

修正Novikov方程；弱解；全局存在性

1　前言和主要结果

2009年，Vladimir Novikov[1]在非局部偏微分方程的对称分类中得到了一个具有三次非线性项的可积方程(简称为Novikov方程)，形式如下：

该方程具有Lax对、双 Hamilton结构、无穷多守恒量以及尖峰波解，且其 Cauchy问题在Besov空间及Sobolev空间 Hs(s＞3/2)中的局部适定性、解的持续性以及爆破现象[2-5]、整体弱解的存在唯一性[6-7]及周期Novikov方程的局部适定性[8]已有一些结果.

2010年，赵磊和周水庚在文献 [9]中对该方程进行改良，用更高次的 u4ux代替原有的u2ux，从而得到了修正的Novikov方程(简称mN方程)：

并找到了方程的孤立波解.

本文主要考虑修正的Novikov方程弱解的全局存在性.

考虑如下方程的Cauchy问题：

利用算子Λ2=1−∂2x，可将方程(1)化为：

(iii)在分布意义下，u=u(t，x)满足方程(2)且逐点满足初值条件；则称u(t，x)为方程的弱解.

本文的主要结论是：

2　Cauchy问题(2)的粘性逼近方法

定义函数：

选取如下磨光函数：

对初值u0(x)进行磨光，可得

由文献[10]知，uε，0(x)∈C∞(R)且有：

考虑Cauchy问题(2)的粘性逼近方程：

对方程(4)关于x求偏导，并设qε=∂xuε，得到：

3　引理

引理3.1若u0(x)∈H1(R)，则对任意的α≥3，Cauchy问题(4)存在唯一的解uε(t，x)，满足uε∈C([0，+∞)；Hα(R))，另外，对t＞0，有：

推论3.1若u0∈H1(R)，则

引理 3.2若0＜ε＜1/4，0＜t＜T，uε为Cauchy问题(4)的唯一解，则存在正常数

满足：

引理 3.3uε=uε(t，x)为Cauchy问题(4)的唯一解，对于任意的0＜t＜T，则存在与ε无关的正常数满足：

利用同样方法可得Q的结论，证明从略.

引理3.4若u0(x)∈H1(R)，u0(x)≥0，uε(t，x)为Cauchy问题(4)的解，则uε(t，x)≥0.

证明由引理3.3知Cauchy问题(4)满足抛物方程的极值原理，因为u0(x)≥0，故而uε，0(x)≥0，由极值原理得uε(t，x)≥0.

应用文献[8]中的方法可以得到如下的两个引理：

引理3.5设uε=uε(t，x)为Cauchy问题(4)的弱解，且定理1.1中的条件成立，则存在正常数c=c0(1+T)ec0T，使得

引理3.6设uε=uε(t，x)为Cauchy问题(4)的弱解，且定理1.1中的条件成立，则存在子列{εj}j∈N→0和u∈L∞([0，∞)；H1(R))∩H1([0，T]×R)满足：

引理 3.7函数序列{Qε(t，x)}在空间中一致有界，且存在一个子函数列和函数对任意的1＜p＜∞，使得

类似于文献[7]的证明，有如下两个引理：

引理3.8存在子列{εj}j∈N→0和两个函数

其中1＜p＜4，1＜r＜2，满足：

4　定理1.1的证明

由(3)式、(9)式以及引理3.6得，

由引理3.6、引理3.7及引理3.9得u在分布意义下满足Cauchy问题(2)，由引理3.2和引理3.5得到u满足性质(a)和(b).

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The existence of the global weak solution to a modified Novikov equation

Li Tenglong，Wang Xiang，Huang Qing

(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China)

In this paper，we study a modified Novikov equation and also obtain the existence of the global weak solution to the modified Novikov equation if the initial data u0(x)satisfies some certain conditions.The results improve the relative ones as well.

modified Novikov equation，weak solution，global existence

O175.2

A

1008-5513(2015)01-0053-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.007

2014-10-23.

国家自然科学基金(11101332).

李腾龙(1989-)，硕士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35A25