孙卫卫

(青岛理工大学琴岛学院)

1 二维空间中一类正交变换的几何意义

定理1 正交变换Y=PX相当于在平面直角坐标系中将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ得到以原点为起点的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.

图1

例1xy=1是由什么样的二次曲线，并且从几何角度解释它是如何由标准的二次曲线旋转得到的.

2 三维空间中一类正交变换的几何意义

设正交矩阵P即向量X、Y为:

并给出正交变换Y=PX，则有如下定理.

定理2 正交变换Y=PX相当于在空间直角坐标系中保持与x轴夹角不变的情况下，从x轴正向看去，将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ得到以原点为起点的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.

证明 由Y=PX知x1=x，故向量Y与x轴的夹角与向量X与x轴的夹角相同，对于向量X、Y其余的两个分量则有，故由定理1知Y=PX相当于在空间直角坐标系中保持与x轴夹角不变的情况下，从x轴正向看去，将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ得到以原点为起点的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.证毕.

设正交矩阵:

在许沁这儿碰壁，并不感到意外，这事不经几个回合，是不会有结果的。雨落和玉敏在路上分析，若让许沁补款是勉为其难，可许沁为什么坚持不退货呢？是贪心所致，还是另有隐情？两人都说不清。雨落说许沁如果坚持说寄国外了，下次你让她出示邮局存根。

可以将此定理2的结论推广到如下的正交变换

Y=P1X与Y=P2X，可有如下结论:正交变换Y=P1X(Y=P2X)相当于在空间直角坐标系中保持与y(z)轴夹角不变的情况下，从y(z)轴正向看去，将以原点为……