崔 雷

(同济大学)

0 引言

Kunth提出了 up－arrow 计数法［1］，随后笔者独立提出广义幂指函数［2］，这两种表示法实质是一样的.

值得指出的是，参考文献［2］里面，广义幂指函数的直观描述和严格定义是一致的，但实际上广义幂指运算有两种可能.

第一种可能:也就是文献［1］里的表示:

用符号表示的例子为x↑↑3=cma1(x，3，2，py，1).这里面x是底数，3 是指数，2 是阶次，py为前面式子的幂值，1为从原点向正实轴的序号.cma1为广义幂指函数第一种形式.

第二种形式为，也就是文献［2］里面的表示:

用符号表示例子即为x3=cma2(x，3，2，py，1).此表示法含义同上.

这两种表示法，不同之处在于运算方向，cma1是从右向左计算，cma2是从左向右计算.值得注意的是，两种方法的结果截然不同.

根据这两种描述得到严格定义是容易的，该文不再赘述.

关于二阶广义幂指函数(无论TypeI还是TypeIIT)中，分数指数的假设为:

这种假设，对于一阶幂指函数显然成立:

利用假设可以解决求解2560.5问题，值得注意的是:2560.5不等于 2560.5.同时，文献［2］的这个假设，也说明超越数的数量远远大于非超越数.

由于广义幂指函数是超越函数，因此从上述求解过程可以尝试用二阶广义幂指函数来表示pi，形式为(a/b)(c/d)=pi、或者(a/b)↑↑(c/d)=pi.

为了表示pi，有两类思考方法:即直接求解二阶幂指pi值得到表示，和利用参考文献的假设用pi的某个二阶幂指得到有理数然后反向表示.下面分别介绍如下.

1 pi的正向搜索法

pi的正向搜索法，即直接用(a/b)(c/d)或(a/b)↑↑(c/d)遍历搜索，其中a/b从某个比较小的a和b开始一直尝试到比较大的a和b.值得注意的是，应该保证……