张正林

(宿州学院)

0 引言

从牛顿时代起，物理问题的研究就成为数学发展的一个重要源泉.18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程，对于偏微分方程也进行了初步的研究，如弦振动方程、波动方程、位势方程.随着物理科学所研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到了19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心，如1882年，基尔霍夫(德，1824—1887年)完成了3维波动方程的求解.傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了“傅里叶积分”，极大地推动了偏微分方程边值问题的研究.此外，他是傅里叶定律的创始人，在代表作《热的解析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪的理论物理学的发展产生深远影响.该文研究抛物型方程的有限差分方法，从二维常系数线性抛物型方程的差分方法进行讨论，给出几种典型的差分格式并讨论其稳定性与收敛性等性质，对变系数以及多维抛物型方程也进行了研究.

1 二维抛物型偏微分方程概述

在研究热传导过程、气体膨胀过程和电磁场的传播等问题时，常常遇到抛物型偏微分方程.这类问题的自变量中，有一个是实际问题中的时间变量，常用t表示.所以抛物方程通常描述的是随时间变化的物理过程，即所谓不定常的物理过程.抛物方程的定解问题有三类，即纯……