乔 钰，徐文科

(东北林业大学)

1 Richards增长曲线方程

Richards模型的微分形式［1］为

方程(2)可以简写为

2 线性最小二乘法估计Richards增长曲线参数

令m－1=δ，并将(3)式中的因变量Vt用y(t)表示，(3)式可表为

对(4)式取对数求导整理可得

令－BA－δ=C，并对(5)式取对数，可得

用向后差分 Δhy(t)=y(t)－y(t－1)代替设误差为e(t)，所以由(6)式可得

lnΔhy(t)= β0+β1lny(t)+β2t+e(t)(7)将(7)式写为矩阵形式:

同时记

上式等价于

(8)式和(9)式为线性模型，则

因此由(10)式就可以估计出 β0，β1，β2的值，进而可以估计出δ，K，C的值.

由－BA－δ=C及(4)式可解得

将(tmax，ymax)代入上式得A的估计值，进而得B的估计值

综上所述，Richards增长曲线方程的四个参数得以估计.

3 双向差分误差平方和最小估计法估计Richards增长曲线参数

针对Richards增长曲线

仍做取对数求导处理得到(6)式

记号

分别称为y(t)在t处的向前差分和向后差分.用向前差分Δqy(t)和向后差分Δhy(t)分别取近似导数，用eq(t)，eh(t)分别表示向前差分的近似误差和向后差分的近似误差.

向前差分近似误差:

向后差分近似误差:

定义一个关于误差的评价指标—向前差分和向后差分总的误差平方和

使向前差分和向后差分误差平方和达到最小，也就是需满足:

将(12)，(13)式代入(14)式，计算(15)式，并令［ln(y(t)－y(t－1))+ln(y(t+1)－y(t))］整理可得:

定义:

则(16)，(17)，(18)可改写为

从而得到β的最小二乘估计

由(19)式可得K，δ，C的估计值.

对饱和值A的估计以及B的估计与线性最小二乘法中的参数估计方法完全相同.

综上所述，Richards增长曲线的四个参数得以估计.

4 双向差分加权最小二乘法估计Richards增长曲线参数

y(t)在t处以步长为1的向前差分和向后差分用如下记号表示:

向前差分 Δqy(t)=y(t+1)－y(t).

向后差分 Δhy(t)=y(t)－y(t－1).

由于每次……