胡忠华

新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：a·b=a·bcosθ（其中θ为向量a与b的夹角），则a·b=a·bcosθ，又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：

（1）a·b≤a·b；（2）a·b≤a·b；

（3）当a与b同向时，a·b=a·b；当a与b反向时，a·b=

-a·b；

（4）当a与b共线时，a·b=a·b。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式

例1.已知a、b∈R+，a+b=1，求证 + ≤2 .

证明：设m=（1，1），n=（ ， ），则m·n= +

m= ，n= =2，由性质m·n≤m·n，得 + ≤2

例2.已知x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥

证明：设m=（1，1，1），n=（x，y，z），

则m·n=x+y+z=1

m= ，n=

由性质m·n2≤m2n2，得x2+y2+z2≥

例3.已知a，b为正数，求证：（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2

证明：设m=（a，b），n=（a2，b2），

则m·n=a3+b3

m= ，n=

由性质m·n2≤m2n2，得（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2

例4.设a，b，c，d∈R，求证：ad+bc≤ ·

证明：设m=（a，b），n=（c，d），则m·n=ad+ac，m= ，n= ，由性质a·b≤a·b，得ad+bc≤ ·

二、比较大小

例5.已知m，n，a，b，c，d∈R+，且p= + ，q= · 那么p、q的大小关系为（ ）

A.p≤q B.p≥q C.p解：设h=（ ， ），k=（ ， ）

则h·k= +

h= ，k=

由性质h·k≤h·k得 + ≤ · 即p≤q，故选A.

三、求最值

例6.已知m，n，x，y∈R，且m2+n2=a，x2+y2=b，那么mx+ny的最大值为（ ）

A. B. C. D.

解：设p=（m，n），q=（x，y），则由数量积的坐标运算，得p·q=mx+ny

而p= ，q= 从而有mx+ny≤ ·

当p与q同向时，mx+ny取最大值 · = ，故选A.

四、求参数的取值范围

例7.设x，y为正数，不等式 + ≤a 恒成立，求a的取值范围.

解：设m=（ ， ），n=（1，1），则m·n= + ，m= ，n=

由性质m·n≤m·n，得 + ≤ ·

又不等式 + ≤a 恒成立，故有a≥

编辑 孙玲娟