郭新翠

(天津大学理学院，天津300072)

记D为复平面C中的单位圆盘H(D)和S(D)分别表示D上的全纯函数和全纯自映射的全体.任意的 f∈H(D)，若)|f'(z)| ＜∞，则f属于Bloch空间.若定义范数‖f‖B=|f(0)|+βf，则 Bloch空间是不变的 Banach空间.Bloch空间上的函数f满足:

另一类我们常见的Möbius不变空间是解析Besov空间(1＜p＜∞)，用Bp表示

其中dA表示单位圆盘的标准化面积测度.而在这里bp是一个半范数，并且可以验证Besov空间在定义Besov范数‖f‖Bp=|f(0)|+bp(f)的意义下是Banach空间.对任意f∈Bp，由文献[1]中的定理9和文献[2]中的引理可知，对任意z∈D，有‖f‖Bp，记 Zygmu`nd 空间为 Z，有

众所周知，f∈Z当且仅当f'∈B，且Z在定义下列范数意义下是Banach空间

对任意的 φ∈S(D)，u∈H(D)，f∈H(D)，z∈D，加权复合算子定义为

特殊的，当u=1和Cφ=I时，其为复合算子Cφ和乘积算子Mu，即

近几十年来函数空间上的复合算子理论[3-5]研究发展是很迅速的.就加权复合算子来说，不仅出现很多单位圆盘上的刻画，还有多圆柱和单位球上的刻画[6].研究的算子性质也是各不相同，包括有界性和紧性[7-9]、本性范数[10]、等距同构[11]等，本文研究的是复合算子有界性和紧性.当然由加权复合算子，可以直接得到乘积算子和复合算子的对应性质，这一点不再特别说明.本文主要受到文献[8]的启发，在文献[8]的定理1和定理3证明过程中，F·Colonna和S·Li应用了文献[7]中的定理1作为引理2，而文献[3]中定理6和定理7是应用文献[7]中的定理2作为引理5.但注意到文献[8]中的引理2和引理5与文献[7]中的定理1和定理2有所差别，并且在文献[8]中定理1证明过程中出现一些计算错误，从而导致其结论的等价性推倒不能严密成立，因此导致后面结论也出现类似的问题.在与F·Colonna通信之后确认存在偏差，针对这些问题，下面通过修改引理和相关检验函数给出了合理的等价性说明.

在有界性部分，定理1和定理2用‖uφk‖Z刻画了Bloch空间和Besov空间到Zygmund空间加权复合算子的有界性并给出等价条件;在紧性部分，定理3和定理4用‖uφk‖Z刻画了Bloch空间和Besov空间到Zygmund空间加权复合算子的紧性，并给出等价条件.另外注意到 Bloch空间和Besov空间的情况是一致的，即{hp，a}(p=∞)很适合刻画Bloch空间到Zygmund空间加权复合算子的有界性和紧性，而这是文献[8]所否定的.

1 有界性

为了刻画Bloch空间和Besov空间到Zygmund空间加权复合算子的有界性，我们先给出引理1.固定 a∈D 和 z∈D，取和.容易验证它们都属于Bloch空间.

引理1[7]若u∈Z且 φ∈S(D)，则下列条件是等价的.

(a)这里pk(z)=zk，k为非负整数.

(b)N1∶uCφfφ(w)，j‖Z，j=1，2，3 都有界.

(c)M3∶和M2有界.

定理1 若u∈Z且φ∈S(D)，则下列条件是等价的.

(a)加权复合算子uCφ∶B→Z有界.

(c)Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3 以及 H 都有界.

(d)M1，M2和 M3有界，其中 M1=szupD(1-|z∈

证明:因为此定理应用引理1，并且证明大部分与文献[8]中的定理1类似，这里只证由(c)推得(d).

若 Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3 以及 H 有界，由引理1，M2和M3有界，下面仅需要证明M1有界.对任意正整数n＞0和a∈D，由直接的计算可知

因此，由式(1)～(3)计算可以得到

于是由式(4)～(7)得到

对式(8)左右两侧乘(1-|w|2)并取模得到

在式(9)中对w∈D取上确界，即得M1有界.

下面的定理刻画了Besov空间Bp(1＜p＜∞)到Zygmund空间加权复合算子的有界性，这与文献[8]中定理3的等价结论也不同.由于证明基本一致，这里省略具体过程.对固定的a∈D和z∈D，定义，容易验证 hp，a(z)∈Bp.

定理2 若u∈Z，φ∈S(D)，对1＜p＜∞，则下列条件等价.

(a)加权复合算子uCφ∶Bp→Z有界.

(b)且 Hp∶，其中pk(z)=zk，k为非负整数.

(c)定理 1.2 中的 Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3有界，且有Hp界.

(d)M4，M2和M3都有界，其中M4=szupD(1-|∈

2 紧性

为了刻画Bloch空间和Besov空间到Zygmund空间加权复合算子的紧性，我们先给引理，再给定理，其中的引理3代替文献[8]中的引理5.

在下面定理3证明中，用到引理2和3以及公式(7)，这是与文献[8]所不同的，但是证明思路与文献[8]中定理6基本一致，故省略.

定理4给出Besov空间到Zygmund空间加权复合算子的紧性的等价刻画，由于与定理3相似的理由，省略具体的证明过程.

引理2 若 u∈H(D)，φ∈S(D)，1＜p＜∞，则加权复合算子 uCφ∶B→Z(或者 uCφ∶Bp→Z)紧的充分必要条件是uCφ∶B→Z(或者uCφ∶Bp→Z)有界且B(或者Bp)上在单位圆盘D的紧子集上一致收敛于0的有界序列{fk}，当k→∞时，有‖uCφfk‖Z→0.

引理3[7]若 u∈Z，φ∈S(D)，则下列条件等价.

定理3若u∈Z，φ∈S(D)并且 uCφ∶B→Z设有界，则下列条件等价.

(a)加权复合算子uCφ∶B→Z是紧的.

其中 pk(z)=zk，k 为非负整数.

(c)‖Z=0，其中 j=1，2，3.

(d)=0，且

定理4 若u∈Z，φ∈S(D)，1＜p＜∞ 假设加权复合算子uCφ∶Bp→Z有界，则下列条件是等价的.

(a)加权复合算子uCφ∶Bp→Z是紧的.

且

3 结语

本文纠正了原有文献的多处错误，其中不仅包括两次引用的错误，还包含定理叙述错误和证明计算推理多次.总结出下面两个可以由定理1～4直接得到的推论，这也证明了文献[8]中的一处错误表述.

推论1 若 u∈Z，φ∈S(D)，对1＜p≤∞，则下列条件等价.

(a)且Hp∶

(b)Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3 有界，且 Hp有界.

(c)M4，M2和 M3有界，其中 M4=supz∈D(1-

推论2 若 u∈Z，φ∈S(D)，1 ＜p≤∞，则下列条件等价.

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