郭树敏，李学志

（1.韶关学院数学与统计学院,广东 韶关512005；2.安阳工学院数理学院,河南 安阳455000）

一类具有非线性传染率和有效治疗的HIV动力学模型的分析

郭树敏1，李学志2

（1.韶关学院数学与统计学院,广东 韶关512005；2.安阳工学院数理学院,河南 安阳455000）

摘要：研究具有非线性感染率的传统数学模型，通过对模型的稳定性分析得到了保证染病平衡态和无病平衡态的全局稳定性所需要的参数条件，并进行了数值模拟.

关键词：非线性感染率；全局稳定性；H IV

数学模型为引起人类免疫力缺乏的HIV-1型病毒和引起肝炎的HCV病毒的研究提供了重要信息.然而几乎所有的数学模型感染率都是线性的［1-3］,而线性只是反映了T细胞与病毒分子之间的简单作用.本文研究具有非线性传染率的数学模型.

1　模型

本文研究的模型为∶

其中,T是靶细胞数量,I是感染细胞数量,V是病毒承载量,s是新的T细胞的产生率,d是T细胞的死亡率,a是靶细胞的最大增殖率,Tmax是当增殖结束时T细胞的数量密度,β是感染率,ρ是治疗变化率,δ是感染细胞的死亡率,p是感染细胞的再生率,c代表自由病毒的清除率.传染率为非线性的βTqV,其中q＞0为一正数.

2　平衡点的局部稳定性

设E*（T*,I*,V*）为任意平衡点.则系统（1）在E*的特征方程为∶

显然,当R0≤1时,无病平衡点E1稳定.当R0＞1时,E1不稳定,地方病平衡点E2存在.对于平衡点E2,,）,（2）式可化简为λ3＋a1λ2＋a2λ＋a3＝0,其中∶

如果M0＞0,则有a1＞0,a2＞0,a3＞0.同样a1a2-a3＞0,可得.由Routh-Hurwits判据,可得下面的定理.

定理1当R0＞1且M0＞0时,正平衡点E2局部渐近稳定.

3　正平衡点的全局稳定性

定理2当R0＞1,a

这个定理的证明与参考文献［4］的定理2.1和4.2相似.只要能够证明系统（1）有稳定的周期轨道就可证明定理2了.

命题1当a

其中A＝a-d-2aT/Tmax-βqTqV,于是可得DF的第二加性复合矩阵为∶

要想证明（3）式是渐近稳定的,要利用LyaPunov函数,这个函数类似于参考文献［6］中关于SEIR模型的一个函数∶

其中‖·‖是R3中的范数,定义为‖（ω1,ω2,ω3）‖＝suP{|ω1|,|ω2＋ω3|}.

因此有下面不等式∶

由（4）式可得∶

由系统（1）可把（6）式变为∶

如果a-d-2aT/Tmax＋δ＞0,则G1＝c-a＋d＋2aT/Tmax,那么g2（t）＝a-d-2aT/Tmax＋I./I,因此∶

如果a-d-2aT/Tmax＋δ≤0,则G1＝c＋δ,那么g2（t）＝-δ＋I./I,因此∶

取μ＝min{d-a,δ},由（7）式和（8）式可得suP{g1（t）,g2（t）}≤-μ＋I./I由Gronwwa11不等式,可得L（t）≤L（0）I（t）e-μt≤L（0）M1e-μt也就是说,当t→＋∞时L（t）→0,因此（ω1（t），ω2（t），ω3（t））→0.

这表明线性系统（3）是渐近稳定的,而且它的周期轨道是轨道渐近稳定的.命题1证毕.说明定理2成立.

4　数值模拟

在系数的变化范围内,当s＝5,d＝0.32,a＝0.3,β＝0.000 2,Tmax＝1 200,ρ＝0.01,δ＝1，p＝800,c＝5,q＝0.98 时,定理2的条件满足,系统（1）的正平衡点全局渐近稳定.

图1　系统（1）的正平衡点是全局渐近稳定的

参考文献：

［1］董俊,张广军,姚宏,等,一类具有双线性传染率的HIV/AIDS病毒动力学改进模型［J］.数学的实践与认识,2012,42（16）∶151-157.

［2］Cai Lim ing,Fang Bin,Li Xuezhi.A note of a staged Progression HIV mode1with imPerfect vaccine［J］.APP1ied Mathematics and ComPutation,2014（234）∶412-416.

［3］Wang Xia,Ahmed E1aiw,Song Xinyu.G1oba1ProPerties of a de1ayed HIV infection mode1with CTL immune resPonse［J］.APP1ied Mathematics and ComPutation,2012（218）∶9405-9414.

［4］Hirsch MW.System of differentia1equationswhich are comPetitive of cooPerative［J］.Mathematica1Ana1ysis and APP1ications, 1990（21）∶1225-1234.

［5］Wang L,LiM Y.Mathematica1ana1ysis of the g1oba1dynamics of amode1 for HIV infection of CD4＋T ce11s［J］.Mathematica1 Biosciences,2006（200）∶44-57.

［6］Li Y,Mu1downey JS.G1oba1stabi1ity for the SEIRmode1in ePidem io1ogy［J］.Mathematica1Biosciences,1995（125）：155-164.

（责任编辑：邵晓军）

中图分类号：O414.1

文献标识码：A

文章编号：1007-5348（2015）10-0001-04

［收稿日期］2015-05-07

［基金项目］国家自然科学基金（11271314）；河南省自然科学基金（144200510021）.

［作者简介］郭树敏（1980-）,女,河南信阳人,韶关学院数学与统计学院讲师,博士；研究方向∶生物数学.

Analysls of HIV EPldemlc Mode lw lth Nonllnear Infectlon Rate and Cure Rate

GUO Shu-min1,LIXue-zhi2
（1.Schoo1ofMathematics and statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China；2.Schoo1of Mathematics and Physics,Anyang Institute of Techno1ogy,Anyang 455000,Henan,China）

Abstract:It iswe11known that themathematica1mode1s Provide very significant information for the research of human immunodeficiency HIV-1and HCV.However,the infection rate of near1y a11mathematica1mode1s is 1inear which shows the simP1e interaction between the T ce11s and the vira1Partic1es.It has Practica1significance to study a traditiona1mathematica1mode1with non1inear infection rate.Itobtained some sufficient conditions on the Parameters for the g1oba1 stabi1ity of the infected equi1ibrium state,and the infection-free equi1ibrium state are given.Numerica1simu1ations are Presented to i11ustrate the resu1ts.

Key words:non1inear incidence；g1oba1stabi1ity；HIV