许仲

离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差这块知识是所有省份高考必考的内容，绝大多数省份的高考题以一个大题的形式出现. 主要内容包括：随机变量及其分布列、期望与方差的概念，用离散型随机变量表示简单事件，使用分布列计算事件概率，计算离散型随机变量的期望与方差. 这部分的高考题目虽然阅读量大，有一定难度，但只要细心分类归纳，耐心发现解决问题的方法和规律，把题目做好也不是难事.

重点难点

重点：求离散型随机变量的分布列、期望与方差.

难点：求离散型随机变量的分布列.

方法突破

认真阅读，分析题目实际背景，明确古典概型概率的概念. 掌握由排列组合或列举法等求古典概型概率的方法，掌握利用互斥事件或相互独立事件求概率的方法. 通过理解题目，会写出离散型随机变量的分布列，并利用期望与方差的公式或性质求出结果. 熟练掌握几种特殊的分布列.

典例精讲

考点1 离散型随机变量分布列的性质

■例1 设随机变量X的概率分布如下表所示，F（x）=P（X≤x），则当x的取值范围是[1，2）时，F（x）等于（ ）

■

A. ■？摇？摇？摇B. ■？摇？摇？摇？摇C. ■？摇？摇？摇？摇D. ■

思索 分布列性质的两个作用：①利用分布列中的各个事件的概率之和为1可以求参数的值；②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.

破解 根据性质可得a=■. 因为F（x）=P（X≤x），所以当x的取值范围是[1，2），F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）=■+■=■. 选D.

考点2 离散型随机变量的分布列

■例2 一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4四个数字，现在随机投掷两次，正四面体的面朝下的数字分别为x1，x2，记ξ=（x1-3）2+（x2-3）2.

（1）分别求出ξ取最大值和最小值的概率；

（2）求ξ的分布列.

思索 求随机变量分布列的三个步骤：①找：找出随机变量ξ的所有可能取值xi（i=1，2…，n），并确定ξ=xi的意义；②求：借助概率有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P（ξ=xi）=pi（i=1，2，…，n）；③列：列出表格并检验是否满足分布列的两条性质.

破解 由于xi∈{1，2，3，4}，所以xi-3∈{-2，-1，0，1}，即（xi-3）2∈{0，1，4}，所以ξ∈{0，1，2，4，5，8}，它的分布列如下：

■

考点3 离散型随机变量的均值与方差

■例3 （2014年高考福建卷）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：

（i）顾客所获的奖励额为60元的概率；

（ii）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

思索 求离散型随机变量的均值与方差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ的可能的全部值；②求ξ取每一个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求E（ξ）；⑤由方差的定义求D（ξ）.

破解 （1）设顾客所获的奖励额为X.

（i）依题意，得P（X=60）=■=■，即顾客所获的奖励额为60元的概率为■.

（ii）依题意，得X的所有可能取值为20，60. P（X=60）=■，P（X=20）=■=■，即X的分布列为：

■

所以顾客所获的奖励额的期望为E（X）=20×0.5+60×0.5=40（元）.

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元. 所以，先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50），记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1，即方案（10，10，50，50），设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为：

■

X1的期望为E（X1）=20×■+60×■+100×■=60，X1的方差为D（X1）=（20-60）2×■+（60-60）2×■+（100-60）2×■=■.

对于方案2，即方案（20，20，40，40），设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为：

■

X2的期望为E（X2）=40×■+60×■+80×■=60，X2的方差为D（X2）=（40-60）2×■+（60-60）2×■+（80-60）2×■=■.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.endprint

■例4 （2014年高考四川卷） 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为■，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了. 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

思索 （1）D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D（X）越小，表明X越集中在E（X）附近，统计中常用■来描述X的分散程度.

（2）随机变量的均值反映了随机变量的取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

破解 （1）X可能的取值为10，

20，100，-200.

根据题意，有P（X=10）=C13×■1×1-■2=■，P（X=20）=C23×■2×1-■1=■，P（X=100）=C33×■3×1-■0=■，P（X=-200）=C03×■0×1-■3=■. 所以X的分布列为：

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（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1，2，3），则P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=■. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P（A1A2A3）=1-■3=■. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是■.

（3）由（1）知，X的数学期望为E（X）=10×■+20×■+100×■-200×■=-■. 这表明，获得分数X的均值为负. 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.

变式练习

1. （2014年高考重庆卷）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3. 从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.

2. （2014年高考江苏卷）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.

（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.

3. （2014年高考山东卷）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1所示，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D. 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分. 对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为■，在D上的概率为■；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为■，在D上的概率为■. 假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：

（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.

■

图1

参考答案

1. （1）P=■=■.

（2）X的所有可能值为1，2，3，故X的分布列为：

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E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

2. （1）由已知可得P=■=■=■.

（2）随机变量X所有可能的取值为2，3，4. {X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P（X=4）=■=■；{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P（X=3）=■=■=■；于是P（X=2）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-■-■=■. 所以随机变量X的概率分布如下：

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E（X）=2×■+3×■+4×■=■.

3. （1）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i=0，1，3），则P（A3）=■，P（A1）=■，P（A0）=1-■-■=■；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（i=0，1，3），则P（B3）=■，P（B1）=■，P（B0）=1-■-■=■. 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意，D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3，由事件的独立性和互斥性，P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）=■×■+■×■+■×■+■×■=■，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为■.

（2）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性和互斥性，得随机变量ξ的分布列为：

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所以数学期望E（ξ）=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■+6×■=■. ■endprint