张四保

（喀什师范学院数学系，新疆喀什 844008）

有关7m＋j型奇正整数不是完全数的一些命题

张四保

（喀什师范学院数学系，新疆喀什 844008）

完全数；奇完全数；命题

0 引言

虽未解决是否存在奇完全数的问题，但有关奇完全数存在热点问题：一，奇完全数的大小估计，其研究成果参考文献［3－5］；二，奇完全数相异素因子大小估计与个数估计，其研究成果参考文献［6－10］；三，特殊类型奇数是否是完全数问题，其研究成果参考文献［11－14］.

1 主要结论

（1）当π≡3，5，6（mod 7）；

（2）当π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），则n不是完全数.

当π≡1（mod 7）时，显然有πα≡1（mod 7）.

当π≡2（mod 7）时，有πα≡24k＋1（mod 7）.当k≡0（mod 3），则πα≡2（mod 7）；当k≡1（mod 3），则πα≡4（mod 7）；当k≡2（mod 3），则πα≡1（mod 7）.

当π≡3（mod 7）时，有πα≡34k＋1（mod 7）.当k≡0（mod 3），则πα≡3（mod 7）；当k≡1（mod 3），则πα≡5（mod 7）；当k≡2（mod 3），则πα≡6（mod 7）.

当π≡4（mod 7）时，有πα≡44k＋1（mod 7）.当k≡0（mod 3），则πα≡4（mod 7）；当k≡1（mod 3），则πα≡2（mod 7）；当k≡2（mod 3），则πα≡1（mod 7）.

当π≡5（mod 7）时，有πα≡54k＋1（mod 7）.当k≡0（mod 3），则πα≡5（mod 7）；当k≡1（mod 3），则πα≡3（mod 7）；当k≡2（mod 3），则πα≡6（mod 7）.

当π≡6（mod 7）时，有πα≡64k＋1≡6（mod 7）.

（1）当π≡3（mod 7）时，有πα≡3，5，6（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾；当π≡5（mod 7）时，有πα≡3，5，6（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾；当π≡6（mod 7）时，有πα≡6（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全数.

（2）π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，当k≡0（mod 3）时，有πα≡2（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾；当k≡1（mod 3），则πα≡4（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全数.

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，当k≡0（mod 3）时，有πα≡4（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾；当k≡1（mod 3），则πα≡2（mod 7），这与πα≡1（mod 7）矛盾，因而此时n不是完全数.

证毕.

（1）当π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）当π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）当π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），则n不是完全数.

（1）当π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）当π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）当π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），则n不是完全数.

由命题1至命题3，可得到推论1.

（1）当π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）当π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）当π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

则n不是完全数.

由命题1的讨论可知，当π≡1（mod 7）时，有πα≡1（mod 7）；当π≡3（mod 7）时，有πα≡3，5，6（mod 7）；当π≡5（mod 7）时，有πα≡3，5，6（mod 7）；当π≡6（mod 7）时，有πα≡6（mod 7）.由此可知，当π≡1，3，5，6（mod 7）时，πα取模7的情况与πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全数.

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，当k≡1（mod 3）时，有πα≡4（mod 7），这与πα≡2（mod 7）矛盾；当k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），这与πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全数.

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，当k≡0（mod 3）时，有πα≡4（mod 7），这与πα≡2（mod 7）矛盾；当k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），这与πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全数.

证毕.

（1）当π≡3，5，6（mod 7）；

（2）当π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

则n不是完全数.

（1）当π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）当π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）当π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

则n不是完全数.

由命题4至命题6，可得到推论2.

（1）当π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）当π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）当π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

则n不是完全数.

由命题1的讨论可知，当π≡1（mod 7）时，有πα≡1（mod 7）；当π≡2（mod 7）时，有πα≡1，2，4（mod 7）；当π≡4（mod 7）时，有πα≡1，2，4（mod 7）；当π≡6（mod 7）时，有πα≡6（mod 7）.由此可知，当π≡1，2，4，6（mod 7）时，πα取模7的情况与πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全数.