陈海滨

摘 要：从多年的数学教学与研究的积累中，探索出一种数学解题方法—— 拆解法。利用拆数、拆式、拆角、拆图等技巧揭示数学问题的隐蔽关系，寻找解决问题的隐含条件，为解决一些数学难题以及快速解题提供一种行之有效、应用范围广、具有启发性的数学解题方法。在研究探索初等数学解题方法时，不论是代数问题，还是几何问题，在熟悉数学基础知识和掌握基本解题方法的基础上，运用此法便于寻找解题思路、揭示隐含条件、抓住问题关键，易于化难为易、化繁为简、分散难点，能使解题思路开阔、巧法频生，酝酿出多种不同的解题策略和思路，具有举一反三、触类旁通、事半功倍之效。若能熟练地运用这种方法，将会明显地提高观察、分析、发现、解决问题的能力。

关键词：数学解题 拆解法 隐含条件 应用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（a）-0213-03

数学是在解决问题中产生，并在解决各种问题的过程中不断发展起来的。正如美国著名数学家哈尔莫（Halmos）提出的那样“数学的真正组成部分是问题和解”。而解决数学问题的过程往往是一个相当复杂的思维过程，没有一个绝对的公式和方法，它不僅具有各种策略和途径，而且它的规则与方法有一部分是“隐蔽”的，这正是数学魅力所在。一个数学题的解决是否正确、迅速、巧妙、合理，甚至具有创造性，往往就在于能否挖掘和利用好“隐蔽”部分，找出“隐含条件”。笔者经过多年的教学实践与研究探索出了一种全新的数学解题方法—— 拆解法。

1 “拆解法”的内涵

1.1 背景与依据

背景：众所周知，数学解题方法奥妙无穷，没有一个绝对的公式和方法。笔者从教多年来，学生都在问同一个问题：有没有一种通用的数学解题方法可以解决初等数学问题。于是，笔者开始思考能不能有一个相对应用广泛的方法与技巧可以解决初等数学问题呢？经过多年的教学研究与探索，现在有了答案。

依据：方法论的基本原理和数学解题的基本思想、基本方法。

1.2 定义和特点

定义：所谓“拆解法”就是以数学问题的条件和结论为切入点，通过观察分析它们的结构（图形）特征，展开联想类比相关的已掌握的知识与方法，利用拆数、拆式、拆角、拆图等技巧进行猜想尝试，揭示数学问题的隐蔽关系，寻找隐含条件，搭建条件与结论的“桥梁”，进而解决问题的一种数学解题方法。

特点：可操作性强、应用范围广、具有启发性。

1.3 方法与目的

方法：充分利用观察分析法、联想类比法与拆数、拆式、拆角、拆图等技巧进行猜想尝试。

目的：揭示隐含条件、抓住问题关键、开阔解题视野、寻求解题思路；举一反三、触类旁通酝酿出多种不同的解题策略；化繁为简、化难为易、分散难点达到事半功倍之效。

1.4 适用原则与范围

适用原则：在熟悉数学基础知识和掌握基本解题方法的基础上运用“拆解法”。

适用范围：初等数学中的大多数问题都适用，尤其适用于一些数学难题以及快速解题。

2 “拆解法”在代数问题中的应用

在研究代数问题时，往往探索解题途径是最重要的和最困难的阶段，总觉得有些问题无从入手，找不到思路，抓不住解决问题的关键。下面的技巧运用会为解决这类问题提供借鉴。

2.1 “拆数”技巧应用举例

在求数列通项公式时，特别是给出若干项的数列求通项公式是数学中的一个难点。若采用“拆数为数”的技巧，容易找到“隐含条件”，从而巧妙地解决这类问题。

例1：求数列的通项公式。

3 “拆解法”在几何问题中的应用

在研究几何问题时，有许多方法为人所熟知和运用。针对大多数几何问题都会给出几何图形，特别是较难问题的图形错综复杂，令人眼花缭乱，无所适从。下面的技巧运用会为解决这类问题指明方向。

3.1 “拆图”在平面几何中应用举例

在平面几何中，像比较复杂的存在性、开放性、探究性和动点等问题，图形纷繁复杂，结论不确定要探索，往往令人理不出头绪，找不到问题的关键所在。若采用由题意分段由简到繁逐步画图联想类比相关的已掌握的知识与方法，对照给定的图形进行猜想尝试的“拆图”技巧，则可以快速找到“隐含条件”—— 不变量，搭建起条件与结论的“桥梁”，巧妙而迅速地解决问题。

例6：已知P是线段AB上一动点，分别以AP、BP长作正三角形△ACP、△BPD，连接AD、BC交于Q点，设∠AQC=，如图1。问：的度数是否会随P点运动而改变，若不会，请证明。

分析：本题是探究性动点问题，难度较大。若按常规直接观察给定的图1进行审题，则很难找到解决问题的关键：∠PAD =∠PCB（不变量）。现采用“拆图”技巧，进行如下分析：

（1）由题意逐步画图（尽量不看给定的图形），联想类比熟知的知识与方法：如图2（1）。

3.2 “拆图”在立体几何中应用举例

在研究立体几何问题时，大多依据降维思想，化空间图形问题到平面图形中去解决。像异面直线成角、线面成角、面面成角等都是转为平面角去解决的。在具体解题时，对于一些较复杂的问题，可参考“拆图”技巧在平面几何中的应用；而针对有些很复杂的问题，则可以采用由给定的图形分段由繁到简逐步拆出简单的平面图形联想类比相关的平面几何知识，对照给定的图形进行猜想尝试的“拆图”技巧。就容易找到解决问题的关键——“隐含条件”，搭建起条件与结论的“桥梁”，进而解决问题。

例7：如图3，过四面体V—ABC的底面上任一点O，分别作OA1∥VA、OB1∥VB、OC1∥VC，其中A1、B1、C1分别是所作直线与侧面的交点。求证：为定值。

分析：显然，本题难度较大。若采用“拆图”在平面几何中应用的技巧，则按题意很难画出给定的复杂图形进行观察分析。

若直接观察给定的复杂图形，则难以发现解决问题的关键—— 隐含条件。现在依据降维思想，从另一个角度采用“拆图”技巧，即由给定的图形分段逐步拆出简单的平面图形，进行猜想与尝试，看能否解决问题。

是底面△ABC中的“线段比例关系”，这样，就将空间问题转为平面问题，只要能证明（2）为定值，则问题得以解决。

（2）若直接观察给定的图形去寻找证明（2）为定值的途径，则会被不必要的点、线、面及其关系干扰，难度大。继续尝试采用“拆图”技巧，从给定的图形中拆出底面△ABC，联想类比平面几何中证明“线段比例关系”的常用方法，不难想到，过点O作OD∥AC、OE∥BC，分别交AB于D、E两点，如图5。类似“1”中的方法可继续“拆图”，容易由“相似三角形和比例性质”的相关知识，得，，

，等式两边分别相加得：，即。

拆解法不仅能解决类似上述一些较难问题，而且还可以快速解决其它问题。诸如，求值、求周期等三角函数问题可以用“拆数”或“拆角”，分解因式、极限运算、代数式化简、公式灵活运用等问题都可以用“拆式”，平面解析几何综合问题可以用“拆图”等等。这里不再一一举例阐述。

由此可见，研究探索初等数学解题方法时，不论是代数问题，还是几何问题，在熟悉数学基础知识和掌握基本解题方法的基础上，运用“拆解法”便于寻找解题思路、揭示隐含条件、抓住问题关键，易于化难为易、化繁为简、分散难点，能使解题思路开阔、巧法频生，酝酿出多种不同的解题策略和思路，具有举一反三、触类旁通、事半功倍之效。拆解法是解决一些数学难题以及快速解题的一种行之有效、可操作性强、应用范围广、具有启发性的数学解题方法。若能熟练地运用这种方法，将会明显地提高观察、分析、发现、解决问题的能力。

参考文献

[1] 梁法驯.数学解题方法[M].华中理工大学出版社，1995：1-88.

[2] 郝澎.学好数学的金钥匙（高中）[M].首都师范大学出版社，1996：109-115.

[3] 李广全，李尚志.数学（基础模块）上册（修订版）[M].高等教育出版社，2013：100-124.

[4] 人民教育出版社中学数学室.数学（上册）[M].人民教育出版社，2013：123-133.