学生在学习数学中，不可避免地会发生错误.我们对错误要有正确的认识，首先，不要害怕学生犯错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，错误是重要的学习资源.其次，要引导学生主动积极地发现错误，发现错误之时，是发展思维的最佳时机.再次，培养学生及时反思纠正错误的习惯，吃一堑长一智.笔者在三角形中三个求解范围问题的教学中，帮助学生发现错误，纠正错误，发展思维，现整理成文与大家交流.

1 弄清构成三角形的充要条件

问题1 已知△ABC的三条边a，b，c成等比数列，且a+b+c=9，求b的取值范围.

学生的典型解法：

解 因为a，b，c能成为三角形的三条边，所以a-c<b<a+c;

因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac;

再结合a+b+c=9，得到a，b，c应满足

a-c<b<a+c，    ①

b2=ac，②

a+b+c=9，③

由③式得a+c=9-b， ④

由①得（a-c）2<b2<（a+c）2，即（a+c）2-4ac<b2<（a+c）2 ， ⑤

将② ④代入⑤得（9-b）2-4b2<b2<（9-b）2，  ⑥

由⑥左边不等式解得b>95-94或b<-95-94（舍去），由⑥右边不等式解得b<92.

综上，b的取值范围为（95-94，92）.

但本题的参考答案是（95-94，3]，是学生解错了，还是参考答案错了？对此，开展了如下的教学活动.

师：请同学们比较两个答案，你发现了什么？有什么想法？请大家分析究竟哪个答案是正确的.

生1：我发现我们得到的答案比参考答案的范围大，多出了区间（3，92）内的值.

生2：我在区间（3，92）内取一个特殊值b=4试了一下.发现当b=4时，ac=16

a+c=5，由此得a2-5a+16=0，而此时Δ=（-5）2-4×16=-39<0，方程组无实数解，所以a，c不存在.由此可以肯定我们的解法错了.

师：那怎样改进你们的解法呢？

生3：生2的启发，我这样做：由②③ ac=b2

a+c=9-b得方程x2-（9-b）x+b2=0应该有两正实数根Δ=（9-b）2-4b2≥0-9≤b≤3.又因为b为正数，所以0<b≤3，再结合（95-94，92）得到正确的答案（95-94，3].

师：至此真相大白，忽视正数a，c的存在性是造成解答错误的根本原因.尽管错误解法中的错误是非常隐蔽的，但还是被同学们的智慧眼睛发现了！边b的取值不但要保证a，b，c可以构成三角形，而且还要保证边a，c（a，c是正实数）的存在性，我们不仅要发挥②③两式的消元转化作用，还要充分挖掘②③中隐含的不等关系.由此，我们得到这样的解题经验：对于等式，不但要发挥它们的等的功能，而且要挖掘其中隐含的不等关系，不但要重视等式相等的一面，还要重视不等的一面，把问题考虑周全.

2 弄清三角形中一个角是锐角的充要条件

问题2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，12mb，c成等差数列，a，12b，c成等比数列，角B是锐角，求实数m的取值范围.

学生的典型解法：

解 因为a，12mb，c成等差数列，a，12b，c成等比数列，所以a+c=mb，ac=14b2.因为角B是锐角，所以a2+c2>b2. 又因为（a+c）2=a2+c2+2ac，所以（mb）2>b2+12b2.由a+c=mb得m>0.所以m>62.

学生得到的答案m>62是错误的，错在哪里？对此，开展了如下的教学活动.

师：角B是锐角的充要条件是a2+c2>b2吗？

生1：是的.

师：说出你的理由.

生1：由余弦定理知道，角B是锐角cos B=a2+c2-b22ac>0a2+c2>b2（不少同学附和赞同）.

生2：我认为不是充要条件，例如，a=100，b=1，c=2，虽然有a2+c2>b2，但b+c<a，这样的a，b，c不能组成三角形，角B根本不存在.

师：那还应该增加什么条件呢？

生3：再加上构成三角形的条件，任意两边之和大于第三边.

生4：由a2+c2>b2可以得到a+c>b.因为（a+c）2>a2+c2>b2，所以a+c>b.只要再增加a-c<b这个条件就可以了.

生5：我觉得，角B是锐角应该等价于0<cos B<1，只要增加cos B<1就可以了.

师：我们来看看cos B<1转化为边是什么限制条件，由cos B<1得a2+c2-b22ac<1，即a-c<b.真是殊途同归.由此我们得到，三角形中角B是锐角的充要条件是0<cos B<1a2+c2>b2

a-c<b.

生6：这个题目我会解了，在原来解法的基础上增加限制条件a-c<b，即（a-c）2<b2，

（a+c）2-4ac<b2，（mb）2-b2<b2，再结合上面得到的m>62，所以实数m取值范围是（62，2）.

师：忽视三角形的存在性是造成解答错误的根本原因.经过同学们的相互讨论，研究出三角形中角B是锐角的充要条件是0<cos B<1a2+c2>b2

a-c0a2+c2>b2.

3 弄清三角形中一个角是钝角的充要条件

问题3  在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=32，A=π3，角B是钝角，求b+c的取值范围.

学生的典型解法：

解 由余弦定理得b2+c2-bc=34.因为（b+c）2=b2+c2+2bc，所以（b+c）2=34+3bc.由基本不等式得（b+c）2≤34+3（b+c）24，因为角B是钝角，所以b≠c.所以（b+c）2<34+3（b+c）24，（b+c）2<3，b+c<3.又因为b+c>a=32，所以32<b+c<3.所以b+c取值范围是（32，3）.

本题的正确答案是（32，32），学生实际上只是得到了问题3的必要条件（32，3），解决问题的关键是寻找三角形的一个角是钝角的充要条件.对此，开展了如下的教学活动.

师：同学们上述解法正确吗？

生1：我觉得角B是钝角这一条件转化有问题，由角B是钝角得到b≠c，这个限制太弱了.

师：那角B是钝角的充要条件是什么？

生2：由余弦定理知道，角B是钝角cos B=a2+c2-b22ac<0a2+c2<b2（不少同学附和赞同）.

生3：我认为不是充要条件，例如，a=1，b=100，c=2，虽然有a2+c2<b2，但a+c<b，这样的a，b，c不能组成三角形，角B根本不存在.

师：那还应该增加什么条件呢？

生3：再加上构成三角形的条件，任意两边之和大于第三边.

生4：由a2+c2<b2可以得到a-c<b.因为（a-c）2<a2+c2<b2，所以a-c<b.只要再增加a+c>b这个条件就可以了.

生5：我觉得，角B是钝角应该等价于-1<cos B<0，只要增加-1<cos B就可以了.

师：我们来看看-1<cos B转化为边是什么限制条件，由cos B>-1得a2+c2-b22ac>-1，即a+c>b.真是殊途同归.由此我们得到，三角形中角B是钝角的充要条件是-1<cos B<0a2+c2<b2

a+c>b.

师：有了上面的分析，请同学们思考问题3的正确解法.

生6：这个题目我会解了，因为角B是钝角，所以a2+c2<b2

a+c>b，即a2<b2-c2=（b+c）（b-c）

a>b-c.

因为（b+c）2=34+3bc=34+34[（b+c）2-（b-c）2]，

所以（b+c）2=3-3（b-c）2.

设b+c=y，b-c=x，则xy>34，x<32，y2=3-3x2.即（3x2）y2>2716，x2<34，y2=3-3x2.

所以（3-y2）y2>2716，y2>34.因此34<y2<94.又因为y>0，所以32<y<32.

所以b+c取值范围是（32，32）.

师：没有对角B是钝角这一条件实现等价转化是造成解答错误的根本原因.经过同学们的相互讨论，研究出三角形中角B是钝角的充要条件是-1<cos B<0a2+c2<b2

a+c>b.纠正原有的错误认识：角B是钝角cos B<0a2+c2<b2.另请同学们思考如何用正弦定理简捷解决这个问题.

作者简介 张乃贵，男，1966年生，江苏兴化人，教育硕士，江苏省中学数学特级教师，主要从事中学数学教育、初等数学、数学竞赛研究，在《中学数学杂志》等杂志发表论文300多篇.