戢守峰, 蓝海燕,2, 唐金环, 朱宝琳

(1.东北大学 工商管理学院,辽宁 沈阳 110004; 2.辽宁工业大学 管理学院,辽宁 锦州 121001)



碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存控制策略

戢守峰1, 蓝海燕1,2, 唐金环1, 朱宝琳1

(1.东北大学 工商管理学院,辽宁 沈阳 110004; 2.辽宁工业大学 管理学院,辽宁 锦州 121001)

针对制造商订货、储存、生产过程中的碳排放问题，探讨了碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存控制策略，在对碳限额与碳交易进行数学度量的基础上构建了碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存成本模型，并通过模型分析得出有碳约束且成本最优生产量及原材料最大订货倍数以及碳限额与碳交易约束下制造商最优生产-库存策略。计算实验与算例分析表明：相比于无碳约束情形，碳限额与碳交易约束下制造商订货数量更高，而订货频率及生产批量更低，并得出三种交易价格之下，决策变量的变化趋势。

碳限额与碳交易约束；生产-库存；最优生产量；最大订货倍数；碳价格不确定

0 引言

碳交易是为促进全球减少温室气体排放，以国际公法作为依据的温室气体排减量交易，在6种被要求排减的温室气体中，二氧化碳(CO2)为最大宗，为达到全球温室气体减量的最终目的，国际上相关机构约定了3种排减机制：清洁发展、联合履行和排放交易[1]。本文以近年来国内外学术界高度关注并极具挑战性，而且已成为企业运作决策时必须考虑的要素之一的碳排放交易为主题，探讨将碳限额与碳交易作为约束条件嵌入到制造商的生产-库存系统中的策略选择问题。

迄今为止，国外关于企业生产-库存控制问题的研究主要集中在供应链协同上。例如，Sana研究了存在残次品的三层供应链中的生产-库存模型，模型系统考虑了协同策略下原材料订购量，生产率和各部门的市场战略[2]；Jha等用简单启发式研究单卖方多个买方组成的供应链生产与库存系统协调问题等[3]；Jonrinaldi等用混合整数规划研究带有逆向物流的四级供应链的订货问题，比较分析了分散决策、半集中决策以及集中决策下的成本差异[4]。而从碳限额与碳交易约束条件下的研究则较为少见。Chen等研究了不同碳约束下的企业生产策略模型，结果发现通过恰当的生产运作管理，可以实现以较小的经济成本换取较大的碳排放的减少[5]；Dobos研究了碳排放交易下企业生产-库存运营，认为碳交易能使厂商库存水平升高和增加成本[6]；Li等基于Arrow-Karlin动态生产-库存模型研究了银行业在排放交易许可中对制造商生产库存策略的影响，假设有一个排放交易计划，企业可以购买排放权或出售他们的权利，不允许跨期交易，并将得出的最优的生产-库存策略与无排放交易时进行了比较[7]。

关于碳交易的研究多集中在宏观层面，而针对企业库存系统减排问题的研究甚少。Jira等从战略的角度提出针对供应链企业减排的设想，通过对企业的经济分析，认为通过环保运作管理和可持续运作管理的角度可以实现供应链的减排[8]；Hua等研究了碳限额与碳交易下企业库存碳足迹的变化，提出了碳约束下的最优订货批量模型[9]；Bonney等通过改进经典EOQ模型，设计了考虑碳排放的库存系统[10]；Wahab等研究二级跨国供应链中带有碳约束的订货策略，碳排放来自于前向和后向供应链[11]；Chen等基于报童模型的研究表明监管比自愿控制方法更有利于减少碳排放，但会增加制造商的生产库存水平[12]。

在国内，关于企业生产-库存控制问题的研究主要是采用EOQ模型方法，如张旭梅等针对补货能力对部分短缺量拖后率的影响，建立了边补货变需求的EOQ模型[13]。而将碳排放与生产运作结合起来开展研究的目前仅有2篇，杜少甫等以单个制造商为对象，研究了排放许可与碳交易机制对排放依赖性企业生产策略的影响，建立了企业生产优化模型，并得到了有排放限额下的最优生产策略[14]；Du等考虑了单一制造商单一排放许可供应商的限额与交易系统中的企业生产策略的制定模型[15]。

综上所述，国内外关于碳限额与碳交易约束下企业下生产-库存控制问题的研究可分为两类：一类是通过扩展经典模型来研究新问题；另一类是将碳排放等环境约束作为参数，构建生产-库存系统新模型。已有文献主要针对单个产品，将碳限额与碳交易价格视为外生常量来考虑。基于此，本文特别考虑了碳限额与碳交易约束下多种原料补货问题和动态的碳交易价格对制造商生产-库存的影响。本文考虑多种原料订购、储存与生产过程中的碳排放，通过研究碳交易价格的变动对制造商生产数量、订货数量的影响，给出了碳限额与碳交易约束下制造商的最优生产-库存策略。

1 问题描述与假设

1.1 问题描述

图1 碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存系统图

本文以具有多个生产基地的集产供销一体化的大型企业集团的生产-库存系统为研究对象，探讨碳排放限额与碳交易约束下制造商多种原材料订货数量及生产批量问题。假设每个基地生产一种产品，每种产品需要w种原材料，一个供应商供应一种或多种原材料，基地(以下称为制造商)按原材料类型向供应商订货，每种原材料的订购量为其生产实际需求材料的τ倍(τ≥1)，可变排放并入固定排放中；库存系统采用(Q,R)策略，需求率和生产率已知且恒定，不允许缺货，不考虑提前期影响。制造商在碳排放总量约束下运营，原材料购入、存储以及生产过程产生大量碳排放，排放总量与政府分配额度相比，可能结余或不足，差额部分在碳交易市场卖出或买入，碳交易价格受市场供求影响而波动，不同的交易价格进一步影响制造商的成本及运营策略，通过构建生产-库存成本模型，得出碳限额与碳交易约束下制造商最佳生产-库存策略(图1)。

1.2 假设条件

本文基于以下的假设条件：

(1)排放限额由政府分配，设政府按“祖父制”原则分配给制造商碳排放总量为L，碳交易价格随市场供求波动；

(2)初始库存水平为Q，单位消耗斜率恒定为(-D)，不允许缺货；

(3)单位生产率P，恒定不变；

(4)持有成本、库存排放与存货数量均为线性关系；生产成本、生产排放与生产数量线性相关；

(5)制造商按原料类型向供应商订货，可变排放并入固定排放中，在不考虑车辆运输能力的假设条件之下，订货排放只与运输次数有关；

(6)制造商采用整车运输原料，车辆运输能力无限，且运输费用、运输排放与订货倍数、生产数量相关。

2 模型的参数度量与构建

2.1 符号与变量定义

(1)碳限额与碳交易机制参数处理。L：政府分配给制造商的碳限额；V：单位碳限额交易价格；Y：卖出或买入的碳限额(正表示卖出，负表示买入)；ET：车辆运输排放；Ew：库存排放；EM：生产排放；Eh：持有产成品的单位碳排放；Eh,w：持有原材料W的单位碳排放；Ef,w：每次运输原料w的固定排放；Ep：单位产品的生产排放。

(2)生产-库存系统。w：原材料种类w=1,2,…m；rw：每单位产品使用原材料w的比率；D：市场对制造商最终产品的年需求量；P：制造商的年生产量(年生产能力)；S：制造商每次生产启动成本；Co,w：制造商订购一次原料w的订货成本；Ch：单位产品的库存持有成本；Ch,w：单位原材料w的库存持有成本；Cp：单位产品的生产成本。

(3)决策变量。Q：产品的生产数量；τ：原材料W的订购倍数，τ≥1。

2.2 碳限额与碳交易的度量

碳限额与碳交易是由政府与企业共同完成，也称总量管制交易。Kaya恒等式是目前最常用的碳信用分配式，其将碳排放量与GDP联系在一起，根据Kaya恒等式可以得到某一国家或地区总的碳排放量[16]，得第t年CO2排放量为：

Et=GDPt×It=GDP×(1+γ)t×I×(1-α)

(1)

其中，It为第t年单位GDP的CO2排放量，γ为经济年增长速度，α为强度控制目标。

依据式(1)得到碳排放总量后，政府再按企业生产能力分配给负有减排责任的企业。据此制造商可得到政府免费碳限额L，并在以下运营环节上产生碳排放：

(1)订货排放量

订货排放主要是订购各种原材料w运输过程发生的排放ET，根据Palmer的研究，车辆启动、空载时产生的排放可视为固定排放，而车辆载重、行驶距离等变化会影响可变排放浮动。前文假设每次订货都是整车运输，且车辆运输能力无限，所以可变排放部分也视为固定不变，将其与空载等排放合并，均为固定排放率Ef,w，订购w种原材料，每种材料订购数量为实际需求量的τ倍，根据文献9的研究，可得出每个周期时间内订货过程的排放总量为：

(2)

(2)库存排放量

(3)

(3)生产排放量

生产过程同样会产生大量排放EM，文中只计算直接生产活动产生的排放，生产单位产品的排放率为EP，每个周期生产活动产生的排放总量为

EM=EPQ

(4)

(4)可交易碳限额

可交易碳限额是指制造商全部碳排放与免费分配限额L之间的差额，此值可取正或负，表示如下：

(5)

当Y>0，制造商的分配碳限额结余，碳交易活动能够增加制造商收益；相反，Y<0表示制造商超标准排放，为履行政府排放政策，需要在碳交易市场上购买碳限额Y，由此影响制造商生产数量、订货水平及库存成本等决策变化。

2.3 模型构建

(6)

进而得出制造商总成本函数，

(7)

TC0(Q,τ)是无碳约束时制造商总成本，式中第一项是生产启动成本，第二项是原材料订货成本，第三项是产成品持有成本，第四项是原材料持有成本，第五项是生产成本，在引入碳排放限额与碳交易之后，制造商新的成本函数TC(Q,τ)表示如下：

(8)

S,Co,w,Ch,Ch,w,rw,V均大于0，Y∈任意整数。

式(9)是上面式(5)的变形，将式(5)代入式(8)中，得出碳限额与碳交易约束下制造商生产-库存成本模型：

(11)

当碳交易价格V=0时，上述模型还原为式(7)，即为经典EOQ成本模型。

3 模型分析

3.1 最优订货倍数与最优生产数量的导出分析

上一部分建立了碳限额与碳交易约束下制造商的生产-库存成本模型，下面用数学分析方法验证所建立的模型是否存在最优解？通过制造商生产-库存成本模型的单调性可以判定最优解的存在性，分析如下：

式(11)的Hessian矩阵为：

(12)

矩阵中各项二阶偏导数分别为：

(13)

令Q2=μ，将分子转化为μ的二次函数Θ(μ)，考察分子符号，则有：

(14)

判别式如下：

函数存在两个实根，得出

其中μ1<0(舍去)。对于∀τ>0，μ2>0恒成立，所以∃Q>0使式(14)大于零，可以得出此时Γ>0，由此判定H矩阵是正定矩阵，进一步得出：碳限额与碳交易约束下制造商成本函数为严格凸函数，存在最优的(Q*,τ*)点使总成本最低。

明确生产-库存成本模型的单调性以后，可进一步得出制造商最优生产数量与最优订货倍数。再令式(11)的一阶偏导数∂minTC(Q,τ)/∂Q=0和∂minTC(Q,τ)/∂τ=0，建立两个一阶偏导数的联立方程组，即

解得方程组最终解如下：

碳限额与碳交易约束下制造商成本函数是关于(q,τ)的凸函数，存在最优生产量Q*和最大订货倍数τ*使得制造商总成本最低。

3.2 碳限额、碳交易价格变化对制造商生产-库存控制策略的影响分析

前面分析结果表明在特定条件下模型存在最优的生产量与订货倍数，使制造商总成本达到最小。当政府分配的碳限额、碳交易价格等外在因素变化时，制造商的成本与决策必然受到影响。本部分通过命题进一步讨论交易价格与碳限额变化时，制造商的订货、生产策略及总成本的变化趋势。

命题1 制造商排放总量ET+EW+EM与分配碳限额L之间存在以下关系：

(1)若L>(ET+EW+EM)，则制造商可以出售碳限额为L-(ET+EW+EM)，即可交易碳限额Y为正值；(2)若L<(ET+EW+EM)，则制造商需要购买碳限额为(ET+EW+EM)-L，即可交易碳限额Y为负值；(3)若L=(ET+EW+EM)，则制造商不进行碳交易，即可交易碳限额Y=0。

证明 通过式(5)可以很容易得出上述三种关系。

命题2 当碳交易价格V=0，碳限额与碳交易约束下制造商最优生产量与无碳约束时相等；当碳交易价格V=+∞，碳排放是影响制造商决策的关键因素。

证明 当V=0时，此时制造商产量

当V=+∞时，制造商产量

两个生产数量，很明显Q0与碳排放无关，Q0是由碳排放变量决定，这说明，当V=0时，碳排放管制政策对制造商没有约束力，制造商从成本角度出发，选择Q0为最优产量；而当V=+∞时，碳排放成为影响生产数量的关键因素，制造商要通过排放量来决策生产数量Q0。

命题3 政府分配的碳限额L不影响制造商订货倍数τ及生产数量Q，进而不影响制造商的碳排放总量，但会影响制造商可交易碳限额及总成本。当碳交易价格V=0时，L变化不影响制造商总成本TC；当碳交易价格等于某一定值时，碳限额L增加，总成本TC下降。

证明 通过偏导方程得出的最优订货倍数τ*和最优生产数量Q*，都是与L无关的函数，即dτ*/dL=0和dQ*/dL=0，碳限额L变化，不能对τ*和Q*产生影响。

由式(11)得出dminTC(Q,τ)/dL=-V，可知碳限额与总成本呈相反变化趋势，当V≠0时，制造商总成本会随着碳限额L增加而减少；V=0时，即dminTC(Q,τ)/dL=0，此时L变化不再制造商总成本TC产生影响。

命题4 可交易碳限额Y随着生产数量Q增加而增加，达到最小排放产量以后，Y随着Q增加而减少；可交易碳限额Y对制造商总成本TC影响趋势与之相反，在排放最低的产量左侧，制造商可交易碳限额数量增加，TC逐渐减少，当Y减少时，TC也随之增加。

证明 从式(5)知可交易碳限额Y与生产数量Q的关系，通过导数关系变化可以得出二者变化趋势：

此时碳排放最低，可交易碳限额取得最大值，在(0,Q)上，Y随着Q的增加而增加，在(Q,+∞)之间，Q继续增加，Y逐渐减少。

可交易碳限额增加时，制造商可以出售碳限额不断增加，所以制造商总成本随之减少；当生产量使碳排放达到最低时，制造商可交易碳限额数量达到最大值；当生产量继续增加时，排放总量也不断增加，可用于出售的碳限额开始减少，总成本开始增加；当生产量超过某一定值(设为Φ)以后，制造商必须购买碳限额以满足生产需要。其中

4 数值算例分析

本文以广州润发塑胶有限公司为例，验证碳限额与碳交易对提升制造商最优生产-库存控制策略的效果。广州碳排放交易所完成了中国首例碳排放权配额交易，排控交易制度规范，润发公司主要生产混炼胶制品，需要3种原料，原材料相关数据如表1所示。产品的市场需求量为70000件/年，企业的产能为80000件/年，产成品持有成本25元/件，生产成本30元/件，启动成本S=2500元/次，产成品库存持有排放率2千克/件，生产排放率3.5千克/件，分配给润发公司的碳限额L=20000吨，单位碳交易价格100元/吨。

表1 原材料相关输入参数

图2 碳交易价格变化对生产数量和订货倍数的影响

通过计算实验得出碳限额与碳交易约束下制造商原材料订货倍数是12.7，最优生产量892件/次，总成本356656元，而无碳约束的情形下，制造商原材料订货倍数是1.0，最优生产量2604件，总成本117666元。相比之下，在没有碳排放约束时，制造商对全年产量按31个批次进行生产，订购原材料31次；而考虑碳排放约束时，则完成全部产量要生产90个小批次，只需要订购7次原材料，在给定的碳限额之下，当碳交易价格变动时，原材料订购倍数及生产量的变化趋势如图2所示。

图2表明在给定碳限额20000之下，订货倍数随着碳交易价格的增加而增加，当V=0时，制造商只订购每个生产批次所需材料，即1倍，而当交易价格V=100，订货倍数达到12.7，价格越高制造商越倾向于增加订货量，而减少运输排放，但会增加库存持有成本。生产数量则与碳价格反向变动，V=0，生产量为2604件，而当V=100时，生产量减至892件，即交易价格越高，生产批量越小。在给定不同碳限额、价格之下，总成本变化如图3和图4所示：

图3 不同碳限额之下总成本变化趋势图

图4 不同碳价格之下总成本变化趋势图

由图3可知，分配的碳限额越低，制造商成本越高，如L=10000时，碳交易价格上涨，制造商在既定的生产条件下其成本不断增加；当碳限额逐渐增加时，制造商成本开始下降，分配碳限额足够高时，在一定价格之下，出售剩余碳限额的收益能够抵消运营成本，如L=30000，当碳价格V=20时，成本曲线开始递减，V>40以后，碳交易收益抵消运营成本后，还有剩余，这说明分配碳限额过高，L=20000数量适中，对制造商影响趋势平稳。

图4说明碳价格变化对制造商总成本的影响，即分配碳限额增加，制造商总成本下降，交易价格越高对成本影响越显著，但当交易价格V=0，制造商成本始终是117666元，无论碳限额增减，成本无任何变化，此种情形下碳限额与碳交易失效。图5和图6说明交易价格不同，碳限额与订货倍数和生产数量之间的关系。

图5 碳限额变化对订货倍数的影响

图6 碳限额变化对生产数量的影响

由图5和图6可知，当碳交易价格V固定时，碳限额变动对订货倍数及生产数量不会产生影响，如V=100，碳限额从10000增加到30000时，制造商的订货倍数是12.7、生产数量是892件/次一直没有发生变化，但交易价格改变时，在V=50或V=0时，两个决策变量才开始发生变化，交易价格越低，订货倍数越少，生产数量越多。这说明交易价格对制造商运营影响显著，通常情况下，碳限额分配受国家政策影响，单个企业或组织只能接受现行分配方案，并在既定碳限额下经营，但交易价格是市场产物，直接影响制造商出售收益或购买成本，因而影响效果更明显。

5 结束语

本文研究了碳限额与碳交易约束下制造商多种原材料订货数量及生产批量问题，运用扩展EOQ模型，考虑订货、存储及生产过程中的碳排放，建立了带有碳约束的制造商生产-库存成本模型，并通过模型分析得出有碳约束且成本最优生产量及原材料最大订购倍数以及碳限额与碳交易约束下制造商最优生产-库存策略。计算实验与算例分析表明：碳限额与碳交易约束下，制造商的生产批量减小、订货频率减少而订货数量增加，总成本也高于无碳约束的情形。在一定条件下，订货倍数与生产数量可以使总成本达到最低，但在此范围之外，总成本的变化趋势受到分配碳限额与碳交易价格的影响而呈不同变化趋势。交易价格上涨时，碳限额越严格，制造商总成本随着交易价格的增加而递增；当碳限额适中时，总成本曲线呈现先增后减趋势，而且碳限额越高，成本曲线拐点越早出现，这一点与Hua的结论略有不同。此外，当给定交易价格时，碳限额增加不影响订货倍数与生产数量，但影响总成本变化，大体上是碳限额增加时制造商总成本递减，且交易价格越高，对成本影响越显著，可是当交易价格等于零时，制造商的成本不因碳限额的增加而变化，保持某一定值不变，得出碳交易价格在高、中、低之下，制造商的成本变化趋势，为制造商在碳限额与碳交易约束下选择最优生产-库存策略提供依据，这一点是已有研究未涉及到的。

本文内容可扩展至多级供应链环境之下进行研究，不同供应链成员间碳限额与碳交易约束下的生产-库存协调问题，这一部分工作有待以后继续完成。

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Manufacturers of Production-Inventory Control Strategy UnderCarbon Cap-and-Trade mechanism

JI Shou-feng1, LAN Hai-yan1,2, TANG Jin-huan1, ZHU Bao-lin1

(1.School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110004, China; 2.School of Management, Liaoning University of Technology. Jinzhou 121001, China)

For manufacturers’ carbon emissions in the process ordering, storage and production, we discuss the manufacturers’ strategies of production-inventory control under carbon cap-and-trade mechanism, construct a production-inventory cost model under cap-and-trade mechanism based on mathematical measure of carbon cap-and-trade mechanism, and derive the optimal production quantity and the maximum order multiple of the multi-raw materials with carbon constraints and manufacturer’ optimum production-inventory policy. Computational experiments and numerical analysis show that manufacturer’ order quantity is higher, and the order frequency and production batch are lower under no-carbon constraints, and draw the change trend of decision variables with the three trading price.

cap-and-trade constraint; production-inventory; optimal production quantity; maximum ordering multiple; carbon price uncertainty

2014- 03- 07

国家自然科学基金项目(70872019);辽宁省教育厅人文社科基地项目(ZJ2013014)

戢守峰(1958-)，男，辽宁沈阳人，东北大学教授，博士生导师，研究方向：物流系统建模与优化、物流与供应链管理。

F253

A

1007-3221(2015)03- 0051- 09