李学鹏，杨文生

(福建师范大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350007)

一类具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型的全局稳定性

李学鹏，杨文生*

(福建师范大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350007)

研究一类具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型。 通过构造递推序列和运用迭代方法，得到了该生态种群系统的正平衡点是全局渐近稳定的。所得结论完善和补充了前人的结果。

反应扩散；比率依赖功能性反应；迭代方法；全局渐近稳定

1 引言

在文献[1]中，Shi 和 Li研究了如下具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型

(1)

Shi 和Li 通过如下的变换

将系统(1)简化成如下的形式(为了方便，令δ=1)，

(2)

显然，如果β<1+m，那么系统(2)存在唯一正平衡点E=(u*,v*)，其中

他们通过构造适当Lyapunov函数的方法，得到了保证系统(2)的正平衡点(u*,v*)是全局渐近稳定的充分条件，即如下条件

(3)

然而，条件(3)相对比较复杂，是否可以用其它方法得到比较简单的充分条件？下一节将给以回答这个问题。事实上，在文献[1] 的注记2.9中，Shi 和 Li指出系统(2)中的功能性反应是第三类和基于比率依赖的，形式上比第二类复杂。是否可以采用文献[2]中所用的上下解方法证明系统(2)的正平衡点的全局渐近稳定性，是一个开放而且是有趣的问题。

2 全局渐近稳定性

在这一节，将考虑系统(2)的全局渐近稳定问题。从生物意义上看，系统(2)的正平衡点E=(u*,v*)是全局渐近稳定的，意味着：不管捕食者和食饵种群怎么扩散，当时间趋于无穷大的时候，食饵和捕食者种群将在空间中均匀分布。……