周俊东，黄 瑞

(阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037)

四元数射影空间中全实伪脐子流形的注记

周俊东，黄 瑞

(阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037)

该文研究了四元数射影空间中的紧致全实伪脐子流形, 计算了子流形的第二基本形式模长平方的Laplacian, 得到一个关于Ricci曲率的Pinching定理和子流形上的一个Simons型积分不等式。

四元数射影空间;伪脐子流形;Ricci曲率

具有常四元数截面曲率c的四元数黎曼流形被称为四元数空间形式。若c>0,我们称之为四元数射影空间, 记为QP(c)。设Mn是等距浸入在四元数射影空间QP(c)中的子流形, 若Mn上每个2维切空间被映射成QP(c)中的全实平面, 则称Mn是全实子流形. 关于四元数射影空间中的子流形的研究已经取得许多成果[1-8]。

1 预备知识

IJ=-JI=K,JK=-KJ=I,KI=-IK=J,I2=J2=K2=-Id。

e1,...en,en+1,...,en+p;eI(1)=Ie1,...,eI(n+p)=Ien+p;eJ(1),...,eJ(n+p);eK(1),...,eK(n+p)。

当标架场限制在Mn上时,{e1,...en}是Mn上切向量场,Mn上法向量场为

{en+1,...,en+p;eI(1),...,eI(n+p);eJ(1),...,eJ(n+p);eK(1),...,eK(n+p)}。设TMn,T⊥Mn分别为Mn的切空间和法空间, 记V=φ(TMn), 显然V是T⊥Mn中的3n维的子空间, 可选取{eI(1),...,eI(n);eJ(1),...,eJ(n);eK(1),...,eK(n)},为V的基向量场。以V⊥表示T⊥Mn中V的正交补空间, 选取{en+1,...,en+p,eI(n+1),...,eI(n+p),eJ(n+1),...,eJ(n+p),eK(n+1),...,eK(n+p)}为V⊥的基向量场.本文采用下面的指标约定：

A,B,C,…=1,...,n+p,I(1),...,I(n+p),J(1),...,J(n+p),K(1),...,K(n+p);i,j,k,…=1,...,n;α,β,γ,...,=n+1,...,n+p,I(1),...,K(n+p);φ,ψ=I,J,K。

其中

(1)

其中Rijkl是Mn的曲率张量。Mn的Gauss-Codazzi-Ricci方程为

Mn上沿ei方向的Ricci曲率

(2)

引理1[10]设A1,...,Am(m≥2)为对称n阶矩阵。则

局部对称流形中子流形关于S的Laplacian(参看文献[1],[6],[9])

(3)

2 主要定理与证明

(ii)当n≥4,Ric(Mn)≥(n-2)(1+H2)时,Mn是全脐的。

证明 由于平均曲率向量ξ∈C∞(V⊥), 所以φ(ξ)总是法于Mn, 不失一般性, 可以选取en+1∥ξ, 又由于Mn是伪脐的, 所以

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

设q是Mn上Ricci曲率的下确界,由Gauss公式和(4)式可得

(11)

对(11)式中的i求和可得

τ≤n[(n-1)(1+H2)-q]

(12)

(13)

进一步由Cauchy-Scharz不等式得到:

(14)

另外我们有

(15)

并将(5)-(10)和(14), (15)代入(3)式计算可得

(16)

(i)当2≤n≤3,时,由(16)式得到

+[n+nH2-4(n-1)(1+H2)+4q]τ

(17)

因此以上不等式中的等号成立, 特别(17)式等号成立, 则有τ=0,Mn是全脐的。