薛金福

带电粒子在电、磁场中的运动问题，是高考中的热点.本文就江苏高考题中带电粒子在电、磁场中由于运动轨迹的空间周期性形成的多解问题进行简要地分析.

例1（2014年江苏高考题）某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图1所示.

装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上.在纸面内，质量为m、电荷量为-q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点.改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置.不计粒子的重力.欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值.

解析粒子经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点，粒子轨迹经过磁场的上边缘和下边缘，如图2所示.

欲使粒子到达M点，必须减小粒子速度，使圆周轨迹半径减小，如图3所示.轨迹中间部分可以周期性重复出现，形成多解.

设圆周轨迹半径为r，则

（3d×22+r2×2）×（n+1）=L，（n=1，2，3…）

mv2r=Bvq

得v=Bqm （Ln+1-3d），1≤n<3L3d-1，n取整数.

题中，粒子的运动轨迹在空间的周期性是形成多解的原因.

例2（2013年江苏高考题）科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制. 如图4所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t做周期性变化的图象如图5和如图6所示.x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向. 在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和+q.不计重力. 在t=τ2时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动.（1）求P在磁场中运动时速度的大小v0；……