黄志刚

题目（2014年广东高考）已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为（5，0），离心率为53，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

本题答案：（1）椭圆C的标准方程为x29+y24=1；（2）点P的轨迹方程为x2+y2=13.

笔者解完题后总喜欢对结论进行观察、分析、猜想、研究，希望能从中找到一些有价值的东西.解完此题后，笔者惊喜地发现：直线13就是该椭圆中的a2+b2.由此我们猜测：对于一般的椭圆是否也有此性质？逆命题如何呢？笔者带着这个想法进行研究，现将研究的主要过程和结论整理出来与大家交流.

一、问题的推广

性质1过椭圆外一点P作椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两条切线PA、PB，且∠APB=90°，则P点的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

下面给出一个不同于标准答案的证法：证明：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），易知切线PA：x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由kPAkPB=-1得出y1y2x1x2=-b4a4.又因为y21=b2（1-x21a2），y22=b2（1-x22a2），所以得出x21x22=a6（x21+x22）-a8a4-b4，联立方程x1xa2+y1yb2=1，

x2xa2+y2yb2=1，解得x=y2-y1x1y2-x2y1a2，

y=x1-x2x1y2-x2y1b2.

所以经过化简得出

x2+y2=（a2+b2）2a4b2+（b4-a2b2）（x21+x22）2a4b2+（b4-a2b2）（x21+x22）=a2+b2.

同样对于双曲线有如下类似的性质：

性质2过双曲线外一点P作双曲线C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两条切线PA、PB，且∠APB=90°，则P点的轨迹方程为x2+y2=a2-b2.

对于抛物线也有如下类似的性质：

性质3过抛物线外一点P作抛物线y2=2px（p>0）的两条切线PA、PB，且∠APB=90°，则P点的轨迹方程为x=-p2.

二、逆向推理、探究

对性质1的条件和结论进行互换作变式探究，笔者用几何画板进行演示，得到圆锥曲线还有如下性质（限于篇幅证明留给读者）.

性质4设P为圆x2+y2=a2+b2上的任意一点，过P作椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两条切线PA、PB，则∠APB=90°.类比到双曲线也有类似的性质：

性质5设P为圆x2+y2=a2-b2上的任意一点，过P作双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>b>0）的两条切线PA、PB，则∠APB=90°.

对于抛物线也有如下的性质：

性质6设P为直线x=-p2上的任意一点，过P作抛物线y2=2px……