刘丹

(山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590)

关于部分变元强稳定性的几个定理

刘丹

(山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590)

本文给出了微分系统关于部分变元的强渐进稳定及在持续摄动下强渐进稳定的几个定理，改进和推广了已有文献的相关结果.

部分变元;强渐近稳定;持续摄动;强一致稳定

1 引言

众所周知，Liapunov直接法是研究系统稳定性的一个十分有效的方法.目前，围绕Liapunov意义下的稳定性、部分变元的稳定性的结果比较丰富，如文献［1－5］.然而近几十年来，人们根据实际情况的需求提出了关于部分变元的强稳定性的概念.运用Liapunov直接法研究部分变元的强稳定性的成果还不够丰富.本文将借鉴文献［6－9］的基本思想，讨论部分变元的强渐进稳定、强一致渐进稳定，并推广到有扰动项的持续摄动下关于部分变元的强一致稳定和强渐进稳定.

2 定义与引理

考虑n维非自治系统

其中x∈Rn，f(t，x)∈C［I×Ω，Rn］，I=［0，+∞)，Ω为开区域，f(t，0)≡0.记

时，(1)的解唯一且可延拓到I上.

对于(1)式的扰动系统

其中R(t，x)∈C［I×Ω，Rn］，R(t，0)=0，R(t，0)不恒为零.

定义1［1］称(1)的平凡解关于部分变元z对y强稳定，如果对于任何ε＞0和t0∈I，存在δ(ε，t0)＞0，使得当x0满足‖y0‖≤δ(ε)时，对一切t≥t0，有‖z(t，t0，x0)‖≤ε.

定义2［1］称(1)的平凡解关于部分变元z对y强一致稳定，如果对于任何ε＞0，存在δ(ε)＞0，使得当x0满足‖y0‖≤δ(ε，t0)时，对一切t0∈I，当t≥t0时有‖z(t，t0，x0)‖≤ε.

定义3［1］称(1)的平凡解关于部分变元z对y强吸引的，如果对于任意ε＞0及t0∈I，存在δ(t0)＞0，使得当x0满足‖y0‖≤δ时，存在T(ε，t0，x0)＞0，当t≥t0+T(ε，t0，x0)时有‖z(t，t0，x0)‖＜ε，即

定义4［2］称(1)的平凡解关于部分变元z对y强渐近稳定的，若(1)的平凡解关于部分变元z对y是强稳……