徐英，王素霞

(淮南师范学院金融学院，安徽淮南232038)

一个扩展的r矩阵及其应用

徐英，王素霞

(淮南师范学院金融学院，安徽淮南232038)

发展并应用孤立子方程的谱问题非线性化方法到对称矩阵Kaup－Newell方程上.得到了一个扩展的r矩阵，并应用r矩阵方法证明了对称矩阵kaup－Newell方程的有限维Hamilton系统是Liouville完全可积的.

对称矩阵Kaup－Newell方程;谱问题非线性化;r矩阵;可积Hamilton系统

1 引言

著名的r矩阵理论［1］经常被应用于研究约束孤子流，由孤子方程通过谱问题非线性化［2－12］可以得到这些约束孤子流的有限维可积Hamilton系统.所有这些约束孤子流都有Lax表示Lx=［U，V］，其守恒积分可以由trLk，k∈Z表示，又由r矩阵关系

可以得到对合关系

本文研究对称矩阵Kaup－Newell方程的谱问题双非线性化［5，12－15］，得到了对称矩阵Kaup－Newell方程的一个有限维Hamilton系统，该有限维Hamilton系统具有Lax表示，让我们惊讶的是发现这个Lax算子所满足的形式不同于以往规范的r矩阵形式(1)，而是满足如下扩展的r矩阵形式

其中A，B是任意的矩阵，从而应用r矩阵方法［1］可以得到上述有限维Hamilton系统是对合的，进而可以得到该有限维Hamilton系统是Liouville完全可积的.

2 对称矩阵Kaup－Newell方程

考虑4阶的Kaup－Newell谱问题

其中λ是谱参数，I2是2×2单位矩阵，u，v是2×2对称矩阵位势函数

选取(4)的辅助谱问题

由(4)与(5)的相容条件即零曲率方程

给出矩阵Kaup－Newell方程

3 谱问题双非线性化与有限维Hamilton系统

首先给出一个引理［16］.

引理1设Φ=(φ1，φ2，…，φr)T，Ψ=(φ1，φ2，…，φr)T满足谱问题及伴随谱问题Φx=U(u，λ)Φ，Ψx=－UT(u，λ)Ψ，其中U(u，λ)是与u，ux，…和参数λ有关的r阶方阵.设M=ΦΨT=(φkφl)r×r，则

选取N个互不相同的谱参数λ1，λ2，…，λN，考虑矩阵Kaup－Newell谱问题(4)和它的伴随谱……